1 引言

同步辐射红外光源(SRIR)具有宽波段、高亮度和高准直性等特点,比传统的热光源(如Globar)的亮度高2~3个量级^[1-2]。同步辐射红外光源点的大小在微米量级,可以帮助显微谱学仪器在很宽的波长范围(1~1000 μm)内获得衍射极限的空间分辨率^[3-5]。同步辐射红外显微谱学技术以其高的空间分辨率和亮度优势,在生物医学、化学及考古等领域得到了广泛应用。Holman等^[6]利用同步辐射红外显微谱学技术研究了活细胞,Benning等^[7]利用该技术研究了蓝藻硅化后的分子特性,Cotte等^[8]利用该技术进行了考古方面的研究。

理论上,可以利用同步辐射红外光源高空间分辨率和高亮度的特性,以及红外谱学显微镜共聚焦成像的特性测量物体的三维空间信息及一维光谱分布。Jamme等^[9]使用同步辐射红外谱学显微镜尝试了水滴的共聚焦三维成像,初步实验表明可以利用现有的红外谱学显微镜使用同步辐射红外光源开展红外共聚焦谱学三维成像。但Jamme等认为由于Schwarzschild聚焦镜的特性,超出焦深范围的样品会进入Schwarzschild聚焦镜的阴影区域,不需要对测试数据进行重建处理。但是对于水平方向较大的样品,在共聚焦三维成像过程中,并不能保证非焦深范围内的所有样品点都能进入Schwarzschild聚焦镜的阴影区域,导致Schwarzschild聚焦镜的点扩展函数内覆盖的点会相互影响,使得实验结果与实际结果相差较大,因而需要对所测数据进行重建,以消除三维样品中各点的相互影响,提高红外共聚焦三维成像方法的空间分辨率。目前上海光源红外谱学显微线站所配置的探测器为点探测器,其每次测量的结果均为聚焦光束内覆盖的所有样品点信息的叠加。对于成分和空间分布较为复杂的物体,整个红外光束路径上的物质都会对光束产生影响(包括吸收、散射等),测量得到的光谱强度与物体成分的相互作用不再是线性关系,因此需要一套合适的算法来复原样品的原始信息。

本文根据红外共聚焦谱学三维测量原理构建了红外共聚焦谱学三维测量的前向模型,尝试利用Levenberg-Marquardt和改进型高斯-牛顿非线性拟合算法实现样品三维空间信息的重建。相较于使用直接复原算法和去卷积算法,所用算法可以大幅提高重建信息的精度,而改进型高斯-牛顿算法提高了非线性拟合算法在共聚焦谱学三维重建时的容错能力。

2 共聚焦谱学三维成像重建算法原理

红外共聚焦谱学三维成像利用的是红外共聚焦显微镜较高的空间分辨率以及可以同时测量光谱的特性。红外共聚焦谱学三维成像的分辨率包括空间分辨率和光谱分辨率。其中:空间分辨率在水平方向上由物镜的数值孔径(NA)和红外显微镜的光阑决定,在垂直方向上则由显微镜的焦深决定;光谱分辨率由红外显微镜配备的红外光谱仪性能决定。

实验方法为逐点测量样品的每个微区,即可以分辨的最小的点,同步辐射红外谱学显微空间分辨率通常在数微米左右。每次测量时,所测得的光谱强度信息为共聚焦显微镜的光束经过样品内所有微区时吸收、散射后的光谱信息,其原理如图1所示。首先对样品在XY平面进行扫描,获得单层信息,然后在Z方向依次进行逐层扫描,如图2所示。考虑到同步辐射红外谱学显微空间分辨率为数微米,将扫描步长定为5 μm。

图 1. 红外谱学显微镜用Schwarzschild 镜头的聚焦光束与(a)小样品、(b)大样品的交汇情况

Fig. 1. Confluence of focused beam of Schwarzschild lens used in the infrared spectroscopy microscope and (a) small sample or (b) large sample

下载图片 查看所有图片

图 2. 红外共聚焦谱学三维图像获取过程

Fig. 2. 3D image acquisition process of infrared confocal spectroscopy

下载图片 查看所有图片

红外光束在样品中传输时通常会有瑞利散射和米氏散射等效应。为简化模型,只考虑样品吸收对测量结果的影响。光谱强度F(α,ν,x,y,z) 可表示为

F(α,ν,x,y,z)=I0ν∑m=1M∑n=1Nexp-∑l=1Lα(ν,m,n,l)δL,(1)

令:

f(ν,m,n,l)=exp-∑l=1Lα(ν,m,n,l)δL,(2)

式中f(ν,m,n,l)为每个微光锥透过样品后到达探测器的光强衰减系数;ν为光谱频率;α(ν,m,n,l)为聚焦光锥内每个微区的吸收系数;M和N分别为聚焦光锥覆盖的样品在X方向和Y方向上的最大微区数目;L为Z方向的微区数目;δL为红外光束在微区内的长度,δL≈h/cos θ,h为垂直方向每层之间的距离,θ为光线的入射角;I₀(ν)为入射光谱强度。

由(1)式可知,每个微区的测量结果与聚焦光锥覆盖微区的吸收相关,且与之不成线性关系,也难以通过变换转化成线性方程,无法采用求解线性方程的方法求解出每个微区的吸收系数。在实际测试时,由于红外谱学显微镜使用的是点探测器,无法大范围地扫描样品(否则实验时间会非常长),采集的数据量不大(特殊要求除外),所测样品的数据点约为10000个,可使用普通计算机采用非线性拟合算法来重建样品在某个谱段的三维形貌信息。

将前向模型按照X→Y→Z的顺序展开为一维向量F(α,ν),其中向量α是由样品中每个测量点的吸收系数组合而成的一维向量(特定波数下,比如2000 cm^-1)。在不考虑测量误差的情况下,使用Levenberg-Marquardt非线性拟合算法通过多次迭代计算样品在特定波数下的吸收信息^[10-11]:

αi+1=αa+(KiKTi+γiI-1KTi[Imeasure-F(αi,ν)],(3)

式中α_a为样品测量结果的吸收信息的先验信息,对于一个未知的样品,在拟合计算开始时,可以使用零向量代入计算;矩阵K_i为向量F(α_i,ν)对向量α_i的导数,即K_i=∂F(α_i,ν)/∂α_i;矩阵 KTi为矩阵K_i的转置矩阵;I为单位矩阵;I_measure为测量结果;γ为阻尼因子,当其值较小时,算法退化为高斯-牛顿算法的最优步长算法,当其值较大时,算法退化为梯度下降算法的最优步长算法;i表示第i次迭代。然后逐步代入每个光谱对应的吸收数据,就可以计算出样品在整个测量光谱波段吸收的三维空间分布和一维光谱信息。在实际计算中,为避免Levenberg-Marquardt拟合算法得到的结果为局部最优解而不是全局最优解,需要合理设置样品吸收信息的先验信息,或选择一个合理的全局的优化参数与之相结合。

在实际实验时,由于存在光源、机械、电子学等方面的噪声,最后获得的图像信息会存在噪声,而在做二维样品测试时,其噪声通常小于0.1%。为了使算法具有一定的稳健性,在模拟计算中加入了1%的噪声。但Levenberg-Marquardt非线性拟合算法在用于红外共聚焦谱学三维成像前向模型的重建时,容纳误差的能力有限。为更真实地模拟实验,本课题组尝试加入误差模型,并采用结合了Levenberg-Marquardt算法原理的高斯-牛顿迭代算法^[12],即

αi+1=αi+[(1+γ)Sa-1+KTiSε-1Ki]-1{KTiSε-1[Imeasure-F(αi,ν)]+Sa-1(αi-αa)},(4)

式中S_a为先验信息的误差模型,S_ε为仪器的误差模型。通过计算发现,使用该算法进行迭代复原可使模型容纳误差的能力达到1%左右。具体模型和模拟计算结果见第3节。

3 理论模拟

前向模型是根据样品信息、仪器参数、测量方法等信息建立的与实际情况相符的测量数据模型,理论上知道样品各点的吸收系数后,根据前向模型算出的结果应和样品的实际测试结果基本相同。

利用红外共聚焦谱学三维成像完成样品的测试后,根据已经确立的前向模型和F(α_i,ν)以及(3)式或(4)式所示的迭代算法,对测试结果进行三维重建,在理论上可以求解出样品各点的吸收信息。

为了验证该重建方法的正确性,建立了一个样品模型。该模型为一个小球,外层包覆一层与小球吸收系数不同的壳层。假设在波数为2000 cm^-1时,球壳的吸收系数为0.1 μm^-1,球壳中心的吸收系数为0.075 μm^-1,球壳外周包覆一层吸收系数为0.05 μm^-1的介质(充当包埋基)。在计算模拟时,球壳以离散点表示,如图3所示。

图 3. 模型样品吸收系数分布的三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 3. 3D distributions of absorption coefficient of model sample. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

加入实验用仪器的相关参数后模拟实验室的测量过程,可得最终的测量数据(2000 cm^-1波数时吸收信息的空间分布),将该测试数据直接除以数据点之间的距离,便可得直接复原数据,如图4所示。比较图3、图4和图5可知,利用直接复原法以及去卷积算法(NA=0.5,波长为5 μm,显微镜模式:共聚焦、标准方法)获得的重建数据与样品的实际信息相差较大。

图 4. 利用直接复原法重建样品吸收系数的三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 4. 3D distributions of absorption coefficient of model sample reconstructed by the direction method. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

图 5. 利用去卷积算法重建样品吸收系数的三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 5. 3D distributions of absorption coefficient of model sample reconstructed by the deconvolution algorithm. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

对所测数据使用Levenberg-Marquardt非线性拟合算法进行重建,得到的结果如图6所示,样品中心沿Z轴和Y轴方向的吸收系数分布如图7所示。对比可以发现,当样品中不包含误差时,使用Levenberg-Marquardt非线性拟合算法可以准确重建样品的原始吸收信息。

图 6. 利用Levenberg-Marquardt非线性拟合算法重建样品吸收系数的三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 6. 3D distributions of absorption coefficient of model sample reconstructed by Levenberg-Marquardt non-linear fitting algorithm. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

图 7. 无误差时样品模型与重构结果中心的吸收系数分布。(a)沿Z轴;(b)沿Y轴

Fig. 7. Distributions of absorption coefficient of model sample and reconstruction result center with no random noise. (a) Along Z axis; (b) along Y axis

下载图片 查看所有图片

但是Levenberg-Marquardt非线性拟合算法应用于该模型时,对误差的容纳有限,考虑到实验中存在一定的噪声而在前向模型结果中加入1%的随机噪声后,反演的结果与实际的输入结果相差较大,如图8所示。

图 8. 模型中含有1%误差时,Levenberg-Marquardt算法重建的样品吸收系数三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 8. 3D distributions of absorption coefficient of model sample reconstructed by Levenberg-Marquardt algorithm with 1% random error. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

图 9. 模型中含有1%误差时,使用改进型高斯-牛顿算法重建的样品吸收系数三维分布图。(a) YZ视图;(b) XY视图;(c) YZ剖面图;(d) XY剖面图

Fig. 9. 3D distributions of absorption coefficient of model sample reconstructed by modified Gauss-Newton algorithm with 1% random noise. (a) YZ view; (b) XY view; (c) YZ profile; (d) XY profile

下载图片 查看所有图片

图 10. 模型中含有1%误差时,样品模型与重构结果中心的吸收系数分布。(a)沿Z轴;(b)沿Y轴

Fig. 10. Distributions of absorption coefficient of model sample and reconstruction result center with 1% random noise. (a) Along Z axis; (b) along Y axis

下载图片 查看所有图片

当模型中加入1%的误差时,使用改进型高斯-牛顿非线性拟合算法。因该算法模型中已经加入了误差参数,因而迭代得到的结果要优于使用Levenberg-Marquardt算法得到的结果,如图9所示,其中心沿Z轴和Y轴方向的吸收数据分布如图10所示。由图10可见,利用改进型高斯-牛顿算法,在模型中含有1%的误差时,水平方向(Y轴方向)上的重建结果与实际的输入结果相差不大,但是垂直方向(Z轴方向)上的重建结果与实际结果有差异,但仍优于使用Levenberg-Marquardt算法得到的结果。

4 结论

根据同步辐射红外共聚焦谱学三维成像的原理及非线性特性,构建了红外共聚焦谱学三维成像用前向模型,使用该模型模拟红外共聚焦谱学三维成像的测试过程,得到了共聚焦三维测试数据。鉴于红外共聚焦谱学三维成像的非线性特性以及直接光谱复原重建算法、去卷积算法处理这类问题的局限性,提出可使用Levenberg-Marquardt算法和高斯-牛顿算法等非线性算法对测试结果进行三维信息重建。模拟计算结果表明:可以利用非线性拟合算法,根据共聚焦谱学三维成像前向模型建立的测试数据重建样品的三维信息;Levenberg-Marquardt算法可用于不包含误差的红外共聚焦谱学三维成像数据的重建,但对包含误差的前向模型的数据重建结果不理想;对于包含误差的红外共聚焦谱学三维成像前向模型的测试结果,可用含有阻尼因子的改进型高斯-牛顿算法进行三维数据重建,水平方向的重建结果与原始数据基本吻合,垂直方向的重建结果与实际结果有一定偏差,但优于直接重建结果和使用Levenberg-Marquardt算法得到的结果。