1 引言

当两种纳米厚度及折射率均不同的材料周期排列时,会形成高反射率薄膜,这个薄膜就叫分布式布拉格反射镜(DBR)。DBR是一种特定的一维光子晶体结构,产生光子带隙是光子晶体重要的特性之一^[1]。当光在光子晶体中传播时会发生布拉格散射,禁止一定频率的光子通过,该波段的光将不能沿此特定方向传播,形成“禁带”,即光子带隙^[2]。DBR作为一种特定的一维光子晶体结构,就拥有这种光子带隙特性,且“禁带”内的反射率可以达到很高。DBR一方面可以抑制自发辐射,另一方面,若在DBR中引入中心腔,腔体的自发辐射会因共振而增强,导致禁带内出现缺陷模,这种结构体就是布拉格反射波导(BRW)^[3-4]。传统BRW由上下DBR和中心腔组成,上下DBR可以利用光子带隙效应代替传统的反射镜来实现光场限制,而中心腔可以采用低折射率材料使可见光在“禁带”内产生缺陷模,从而在整体上实现滤光功能^[5-6]。BRW中“禁带”的缺陷模可允许某些特定频率的光通过,使得BRW应用前景十分广泛,如制备高效率的激光器、高品质的激光谐振腔以及高效率的发光二极管等^[7]。

传统的BRW通过改变中心腔薄膜的厚度来控制缺陷模中心频率的大小,但是由于中心腔薄膜在实际制备过程中,很难做到以细微的差异来实现高精度地控制缺陷模的中心波长,不仅精度较低,而且成本很高。本文对传统的BRW加以改造,在中心腔的内部加入超表面^[8],通过改变超表面的参量来控制缺陷模的频率大小;还通过Matlab数值运算以及Comsol构建模型分别对DBR、传统的BRW和新型BRW进行仿真,对其特性进行了分析。

2 理论基础

2.1 DBR

在DBR中传播的电磁波遵循麦克斯韦方程:

▽2E→+ω2c2ε0+ε(x)E→-▽→▽→·E→=0,(1)

式中, E→为电磁波的电场矢量,ω为电磁波频率,c为真空中光速,ε₀为真空介电常数,ε(x)为相对介电常数且随空间位置呈周期变化。该方程只在某些频率ω处有解,其他频率区域内无解。即某些频率的光波在该结构中是禁止通过的,会被完全反射,形成中心波长为λ₀的光子带隙^[9-10]。DBR的介质折射率n_H、n_L和介质层厚度d_H、d_L满足:

nHdH=nLdL=λ04。(2)

相应的禁带宽度为:

Δλ0=4λ0πarcsinnH-nLnH+nL。(3)

2.2 BRW

传统BRW的中心腔材料要求低折射率,SU-8薄膜可以使整个中心腔的曝光量均匀。SU-8的折射率为1.57,满足中心腔材料的低折射率要求。在DBR中加入SU-8后,某些入射光会与SU-8自发辐射的光在中心腔内谐振,通过DBR在“禁带”内形成“缺陷”,即波长为λ₁的缺陷模。

2.3 新型BRW

新型BRW是在传统的BRW中加入超表面。超表面是一种基于广义折射定律,可以让一束光在特定波长范围内发生相位、振幅及偏振突变效应的微纳平面光学元件^[11-12]。

超表面具有以下三个特点:

1) 超表面对波前的相位作用远远大于累计作用;

2) 尺寸较小,满足亚波长条件,可以用于光学散射体设计;

3) 超表面结构设计灵活,可以通过结构设计增大透射率^[13]。

超表面的结构多种多样,实验设计了上下表面为正方形的Si柱结构,超表面的厚度和边长决定缺陷模中心波长λ₁的大小。相对于其他结构,纳米量级的长方体Si柱的制备工艺较简单和成熟,变量控制较容易,能够达到的效果也较好。加入Si柱超表面后的BRW单元具备传统BRW的功能,而且可以利用超表面对缺陷模的中心波长进行调控,在硬件上较容易实现,新型BRW如图1所示。

图 1. 新型BRW结构示意图

Fig. 1. Structural diagram of new BRW

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2.4 传输矩阵法

研究DBR的能带结构时,必须选取合适的模拟计算方法才能够得到正确的禁带。常见有多重散射法、有限时域差分法、传输矩阵法^[14-15]和平面波展开法等。实验中的DBR周期数有限,用传输矩阵法将电磁场以传输矩阵的方式展开,可快速且精准计算DBR的透射谱与反射谱。

在DBR的两种介质交界面处,光线会因干涉叠加而形成反射光和透射光^[16]。用M表示DBR入射光与出射光的关系,其本质为各层介质材料的特征矩阵的乘积,若用M_j表征第j层介质的特征矩阵,以TE光为例,则有:

Mj=cosδjiηjsinδjiηjsinδjcosδj,(4)

式中η_j为第j层介质材料的光学导纳,可以表示为:

ηj=εj/μjcosθj;(5)

δ_j为相位厚度,可以表示为:

δj=2πλNjdjcosθj。(6)

则整个DBR的传输矩阵M可以表示为:

M=Πj=1NMj=m11m12m21m22。(7)

DBR两侧电磁场的关系为:

E1H1τ=m11m12m21m22En+1ηEn+1。(8)

假设DBR总共有n层介质薄膜,光波透过整个DBR则需通过N+1个介质的交界面,其中第一个介质交界面是空气和介质薄膜的接触面,其电磁场分布为:

E1=Ei1+Er1H1τ=η0Ei1-Er1。(9)

第N+1个交界面是介质和基底的接触面,其中基底可以为空气,也可以是其他介质,其电磁场分布情况为:

EN+1=Et(N+1)HN+1=ηsEt(N+1),(10)

式中η_s为基底介质的光学导纳,单位为西门子。由此可以得到DBR的反射系数为:

r=m11+m12ηsηc-m21+m22ηsm11+m12ηsηc+m21+m22ηs。(11)

透射系数为:

t=2ηc(m11+m12ηs)ηc+(m21+m22ηs)。(12)

同时可以得到反射率R和透射率T:

R=r2T=ηsηct2。(13)

TM波在DBR中能带特性的推导过程与TE波类似,只需把每个介质薄膜的光学导纳改为

ηj=μj/εjcosθj,(14)

即可。

3 仿真结果和分析

基于Matlab软件,实验利用传输矩阵法对DBR和传统BRW做了数值模拟仿真,并利用Comsol软件对新型BRW进行了仿真和分析。

3.1 DBR仿真结果和分析

影响DBR特性的主要因素有:介质折射率比k(n_H/n_L)、介质厚度以及介质周期m。因考虑到后期实际仪器的应用,入射光线都为垂直入射,因次实验不对入射角进行分析。以Si和SiO₂作为DBR介质, Si的折射率n_H=3.4,SiO₂的折射率n_L=1.47,根据(2)式和可见光范围可知,当d_L在65~125 nm之间时,λ₀位于可见光范围内。

3.1.1 介质折射率比k对DBR性能的影响

介质周期m=8,低折射率介质厚度d_L=90 nm,折射率n_L=1.47,不改变低折射率的材料和厚度,仿真结果如图2和表1所示。

图 2. 折射率比k对DBR性能的影响

Fig. 2. Effect of refractive index ratio k on the performance of DBR

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由图2和表1可知,k由1.5逐渐增大到3时,禁带中心波长λ₀一直保持529 nm不变,而禁带范围不断增大,禁带带宽Δω由112 nm逐渐增加到400 nm,且禁带截止效果越来越好。由此可知,当一种材料的折射率和厚度不变时,两种介质薄膜的折射率比不会影响禁带的中心波长;折射率比越大,禁带的带宽越大,同时DBR的布拉格散射也越强,禁带的边缘变得更陡直,截止度更好。但是在实际应用中,两种不同材料的折射率比不可能无限大,故选取了4种不同的介质材料作为研究对象,分别为KCl、Si、SiO₂、和MgF₂,这4种材料在400~700 nm波段均可视,特别是当它们的厚度小于100 nm时均为透明。将这4种介质材料相互组合,形成了Si/KCl、Si/SiO₂、Si/MgF₂三种典型的可见光波段的DBR,如表2所示。

对上述三种组合结构进行仿真,结果如图3所示。

图 3. 不同DBR组合类型

Fig. 3. Different combination types of DBR

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从此可以看出,三种结构体的禁带中心波长基本一样,中心波长不会受折射率比影响,Si/MgF₂的禁带宽度略大于Si/SiO₂结构体,更大于Si/KCl结构体,三者之间的禁带宽度差别不大,主要是因为三种材料的折射率比相差比较小,已经接近极限值。由于Si和SiO₂都是常见的物质,成本较低,且制作工艺更成熟,考虑到后期实际制备的需求,后期实验选用Si/SiO₂结构体。

3.1.2 介质厚度对DBR性能的影响

选用Si/SiO₂结构体,介质周期m=8进行介质厚度对DBR性能的影响分析,结果如图4和表3所示。

图 4. 介质厚度对DBR性能的影响

Fig. 4. Effect of medium thickness on the performance of DBR

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由图4和表3可见,当低折射率介质的厚度d_L以5 nm为间隔由80 nm增加到100 nm时,禁带的中心波长λ₀由470 nm逐渐增加到588 nm,每次增加大约30 nm;禁带的带宽Δω也由215 nm增大到269 nm,每次增加约13 nm。由此可知,介质厚度对禁带的带宽和中心波长都有影响。介质越厚,禁带越宽,且禁带整体发生红移,即向波长较大的波段移动;当介质厚度等间隔增加时,中心波长λ₀和带宽Δω也等间隔增大,满足(2)式和(3)式。

3.1.3 介质周期m对DBR性能的影响

选用Si/SiO₂结构体,介质厚度d_L=90 nm、d_H=39 nm,分析m对DBR性能的影响,结果如图5所示。

图 5. 介质周期m对DBR性能的影响

Fig. 5. Effect of medium period m on the performance of DBR

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一个DBR单元包括两个介质薄膜,整个DBR则由m个DBR单元构成,m即为介质周期。m对禁带的截止效果有很大的影响,由图5可知,当m变大时,反射率在禁带内也越接近于1,禁带的边缘也变得更陡直,且截止度变好,而m对禁带的中心波长λ₀、禁带范围ω和带宽Δω都没有影响, 因此介质周期m主要影响禁带的截止效果。因为一个周期的DBR对光子的消减能力是一定的,m的增加会使DBR对光子的消减作用得到累积,禁带效果也就更加明显。

3.2 传统BRW仿真结果

BRW会产生缺陷模,缺陷模的分辨率、透射率和中心波长λ₁决定了BRW的分光性能,因此其会受到单侧DBR的介质周期m以及SU-8厚度H₁的影响。以下实验中DBR均采用Si/SiO₂结构体,介质厚度d_L=90 nm、d_H=39 nm。

3.2.1 介质周期m对缺陷模的影响

单侧介质周期m对缺陷模的中心波长λ₁没有影响,都约为537 nm。根据放大图可以看到,m=2时λ₁比较大,主要是因为m过小,DBR的滤波效果比较差,使得λ₁会有较大偏差。另外,由放大图可知,m越大,缺陷模的带宽越小,可实现的分辨率也就越高;当m=4时,分辨率即可达到几纳米;同时,随着m的增大,缺陷模的峰值会减小,这是因为介质周期的增加对缺陷模的透射率会有消减作用。因此在实际应用中可以根据需求选择合适的介质周期,实验选用单侧介质周期为4的结构体。

图 6. (a)介质周期m对缺陷模的影响;(b)缺陷模放大图

Fig. 6. (a) Effect of medium period m on defect modes; (b) enlarged drawing of defect modes

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3.2.2 SU-8厚度对缺陷模的影响

图 7. SU-8厚度对缺陷模的影响

Fig. 7. Effect of SU-8 thickness on defect modes

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由图7可知,当SU-8厚度H₁变大时,缺陷模的中心波长λ₁也会随之增大,发生红移现象;而H₁对于透射率的影响并不大。另外,当SU-8的厚度不小于150 nm时,禁带内会出现两个缺陷模,这是因为缺陷模是周期出现的,当SU-8厚度过大时,就会出现两个缺陷模,且两个缺陷模在光电收集过程中能量会混合在一起,无法区别。由此可知,改变SU-8的厚度可以调控缺陷模的中心波长,但由于缺陷模的周期问题,SU-8调控缺陷模的范围仅为427.8~626.4 nm,显然无法覆盖全可见光波段。另外,由于SU-8的胶体性质,利用SU-8厚度细微差异来控制缺陷模非常困难,不仅精度很低,而且成本较高,因此实验在BRW中加入了超表面结构体。

3.3 新型BRW仿真结果

通过Comsol软件建立一个单边m=4的新型BRW单元结构,如图8(a)所示,蓝色区域为Si柱,空白区域为SiO₂,中间空白区域为SU-8中心腔,内含Si柱超表面,其入光口设置在波导的上方,出光口在其下方。加入超表面以后,存在多个因素对缺陷模产生影响,包括SU-8的厚度H₁、超表面的厚度H₂、SU-8的边长L₁,超表面的边长L₂。首先确定新型BRW单元的分光功能,设置各变量分别为H₁=100 nm、H₂=50 nm、L₁=200 nm、L₂=100 nm,仿真结果如图8所示。

图8中R为DBR衬底处的反射率,T为透射率,A为吸收率。根据图8的内部电场图,波长为600 nm的光在中心腔和超表面内的光强明显强于入光口处的光强,这是因为该波段光会与中心腔内的自发辐射产生谐振,增强了自身光强。同时,根据出光口处的一维电场仿真图可以看到,当介质厚度d_L=90 nm、d_H=39 nm时,新型BRW在410~760 nm波长范围内有禁带产生,也就是前面所说的光子晶体的光子带隙效应,禁带的宽度和中心波长由DBR的介质厚度、介质材料以及介质周期共同决定,与传统BRW一致。另外在600 nm处有缺陷模存在,缺陷模的透射率达到0.7,效果比较理想,即新型BRW结构体能够达到传统BRW的滤波效果。超表面对缺陷模的中心波长有调控作用,选取两个不同边长的超表面进行仿真,结果如图9所示。

图 8. 新型BRW结构图和仿真结果。(a) BRW结构体;(b)内部电场图;(c)一维电场图

Fig. 8. Structure and simulation results of new BRW. (a) Structures of BRW; (b) internal electrical field; (c) one-dimension electrical field

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图 9. 超表面边长对缺陷模的影响。(a) L2=20 nm;(b) L2=160 nm

Fig. 9. Effect of length of metasurface on defect modes. (a) L2=20 nm; (b) L2=160 nm

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通过图8和图9可以看到,当其他因素都固定以后,缺陷模会随着超表面的边长增大而红移,并且是在550~670 nm之间移动,说明超表面的边长可以控制缺陷模的中心波长。由此可知,缺陷模中心波长的调控范围是由SU-8的厚度和超表面的厚度共同决定的,当超表面边长过大时,禁带内会出现双缺陷模,这是因为缺陷模是呈周期出现的,符合光在中心腔内的传播规律。由于超表面的调控范围有限,若要缺陷模的调控范围尽可能覆盖整个禁带,需对SU-8的厚度H₁、超表面的厚度H₂、SU-8的边长L₁、超表面的边长L₂这4个要素进行整体仿真,如图10和表4所示。

通过大量的实验结果图对比可知,SU-8的厚度决定了缺陷模调控范围的起点,即最小中心波长,SU-8厚度的增加会导致缺陷模的红移,也就是SU-8越厚,最小中心波长越大;当SU-8的厚度确定以后,超表面的厚度就决定了缺陷模调控范围的终点,即最大中心波长,它会随着超表面厚度的增加而变大。但是经过大量实验证明,超表面的厚度保持在40~50 nm效果比较好,可以避免禁带内存在双缺陷模等问题;SU-8的边长会影响缺陷模的透射率,当SU-8的厚度较大时,增大SU-8边长可以增加透射率。通过表4可以看到,当改变各个要素后,缺陷模的调控范围变为440~700 nm,已经基本覆盖了禁带范围。对超表面的边长进行细化扫描,实验时x系数取0.01,可得图11。

图 10. 新型BRW扫描结果。(a) H1=100 nm、H2=10 nm、L1=200 nm、L2=L1x;(b) H1=100 nm、H2=30 nm、L1=200 nm、L2=L1x;(c) H1=100 nm、H2=50 nm、L1=200 nm、L2=L1x;(d) H1=60 nm、H2=30 nm、L1=200 nm、L2=L1x

Fig. 10. Scanning results of new BRW. (a) H1=100 nm, H2=10 nm, L1=200 nm, L2=L1x; (b) H1=100 nm, H2=30 nm, L1=200 nm, L2=L1x; (c) H1=100 nm, H2=50 nm, L1=200 nm, L2=L1x; (d) H1=60 nm, H2=30 nm, L1=200 nm, L2=L1x

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图 11. 新型BRW细化扫描结果

Fig. 11. Refine scanning results of new BRW

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由图11可以看到,当超表面边长较小时,透射峰较密,分辨率较高;边长越大,分辨率越低。但也可以达到纳米级别的分辨率要求,因此新型BRW缺陷模的分辨率很高。综合各因素,可以构建BRW阵列,如图12所示。

图 12. 新型BRW阵列

Fig. 12. New BRW array

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在一个BRW阵列中,以同一个DBR和SU-8中心腔为衬底,中心腔内的超表面分为不同的方阵,每个方阵内的超表面尺寸完全相同,允许同一波段的光通过,可以增加同一波段光的光通量;不同方阵之间的超表面尺寸有差异,主要是因为超表面的边长不同。根据不同厚度的SU-8设计不同的波导阵列,通过优化,只需两三个阵列就可以实现440~700 nm波段的分光功能。

4 结论

本文利用传输矩阵法,对DBR和传统BRW进行了数值模拟仿真,分析了各参量对其禁带和缺陷模的影响。同时在传统BRW的基础上引入超表面,对多变量进行仿真分析,结果表明,超表面对缺陷模具有调控作用,解决了传统BRW工艺不易实现的难题。综合各因素,新型BRW缺陷模调控带宽要比传统BRW大,且分辨率更高,可以达到纳米级别。新型BRW解决了制备上的难题,无需制备各种不同厚度的SU-8薄膜,只需几个特定厚度的SU-8薄膜,然后通过制备不同边长的超表面就可以覆盖大部分的可见光波段,实现了制备工艺上的简化。总之,新型BRW可以用于制备光学天线阵列,实现不同波段可见光的同时分光,有助于改进光学仪器。