有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的光场旋转

王宇浩; 肖燕; 白小琴; 张静

doi:doi:10.3788/LOP56.240602

激光与光电子学进展, 2019, 56 (24): 240602, 网络出版: 2019-11-26

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Optical Field Rotation of Finite Energy Airy-Hermite-Gaussian Beams in Medium with Potential Well

论文大纲

王宇浩 ^**肖燕 ^*白小琴张静

作者单位

山西大学物理电子工程学院, 山西太原 030006

光纤光学艾里-厄米-高斯光束势阱介质 fiber optics Airy-Hermite-Gaussian beam medium with potential well

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注：本部分内容由 AI 自动生成，请您知悉。

摘要

以带有抛物势的薛定谔方程为理论模型,采用分步傅里叶数值模拟方法,对势阱介质中的有限能量艾里-厄米-高斯光束的传输特性以及相互作用关系进行研究。结果表明,势阱介质会使有限能量艾里-厄米-高斯光束的光场结构在传输过程中发生旋转。随着势阱强度的增大,光束的光场结构完成旋转所需的传输距离越来越短。此外,进一步探讨了具有不同初始间隔的两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的相互作用关系,发现在传输过程中光束的光斑数量会发生变化。

Abstract

Herein, for the propagation and interaction of finite energy Airy-Hermite-Gaussian (FEAHG) beams in a medium with a potential well, a linear parabolic (Schr dinger-like) equation was applied as the theoretical model in a split-step Fourier numerical simulation. Results show that the optical field structure of FEAHG beams rotates in the medium with a potential well. The greater the intensity of the potential well is, the shorter the propagation distance for the optical field structure completing rotation is. In addition, further investigation of the interaction between two FEAHG beams with different initial intervals in the medium with a potential well reveals that the number of light spots during propagation changes.

1 引言

Berry等^[1]在量子力学的范畴内发现艾里函数是非线性薛定谔方程的一个解,从而引入了艾里光束这个概念。艾里光束能够在传输过程中保持波形且不断加速。然而,艾里光束包含无限能量,因此在现实中是无法获得的。Siviloglou等^[2]发现,利用指数型衰减包络截断艾里光束,便可得到有限能量的艾里光束。Bandres等^[3]发现艾里光束具有无衍射和自加速的特性,基于这些特性,艾里光束在很多领域都有潜在的应用,例如弯曲等离子体通道产生^[4]、粒子清除^[5]、等离子能量路由^[6]。艾里光束同时还具有自愈的特性,能够在穿过障碍之后恢复波形^[7],这使其在散射介质中的成像方面有重要的应用价值^[8]。与此同时,很多艾里光束衍生出的光束也引起了关注并被应用于工程中,其中有艾里-高斯光束^[9-12]、艾里-厄米-高斯光束^[13-17],这些光束不仅能够保持艾里光束原有的特性,还具有一些新的特点。

艾里-厄米-高斯光束具有有限能量,并且在不同的介质中传输时会展示出不同的特性。艾里-厄米-高斯光束在ABCD光学模型^[14-15]和单轴晶体^[16]以及光折变介质^[17]中的传输特性已得到了广泛研究,而该光束在势阱介质^[18-19]中的传输特性鲜有报道。势阱介质是一种典型的强非局域非线性介质^[20],当艾里光束在该介质中传输时会发生周期性振荡^[21]。

本文基于旁轴近似下的带有抛物势的薛定谔方程,研究了有限能量艾里-厄米-高斯(FEAHG)光束在势阱介质中的传输特性和相互作用,发现在势阱介质中光束的光场结构会发生旋转,这种变化与光束穿过薄透镜的变化类似^[14],并且势阱强度以及厄米多项式的阶数会对光场结构产生重要的影响。除此之外,还探究了两个有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的相互作用,进一步证明了在势阱介质中,光束的光场结构会发生旋转这一结论。

2 基本原理

旁轴近似条件是所有光学基本公式的设定条件,满足sinθ=θ,cosθ=1,从而简化了运算。一般认为角度θ小于10°时为近轴或称旁轴,本文的研究对象符合这一条件。在旁轴近似的情况下,带有抛物势的薛定谔方程^[1]可以描述为

\begin{matrix} i \frac{\partial U}{\partial Z} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial X^{2}} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} U}{\partial Y^{2}} - V (X) U = 0, (1) \end{matrix}

式中:U为光束的包络;X、Y和Z分别为归一化的横向坐标、纵向坐标和传输距离。横向坐标用光束的初始宽度x₀进行归一化,而传输距离用瑞利长度k $\begin{matrix} x_{0}^{2} \end{matrix}$ 进行归一化(其中波数k=2πn'/λ₀,n'表示介质的折射率,λ₀表示光束波长);抛物势V(X)=α²X²/2,其中α为势阱的深度,表示势阱介质的非线性强度,通常情况最大值为0.5。

初始入射光束的光场^[17]可以描述为

\begin{matrix} U (X, Y, 0) = A_{0} F_{Ai} (X) \exp (aX) \cdot \exp (- Y^{2}) H_{n} (Y), (2) \end{matrix}

式中:A₀为初始入射光束的振幅;F_Ai(·)为艾里函数;a为光束的截断系数;H_n(·)为n阶厄米多项式,其中H₁(Y)=2Y,H₂(Y)=4Y²-2,H₃(Y)=8Y³-12Y。

为了研究两个光束之间的相互作用,构造包含两个艾里-厄米-高斯光束的入射光束,其光场分布可表示为

\begin{matrix} \begin{matrix} U (X, Y, 0) = A_{1} F_{Ai} (X + B) \exp [a_{1} (X + B)] \cdot \exp (- Y^{2}) H_{n} (Y) + \\ A_{2} F_{Ai} [- (X - B)] \exp {a_{2} [x - (X - B) x]} \cdot \exp (- Y^{2}) H_{n} (Y) \exp (iθ), (3) \end{matrix} \end{matrix}

式中:A₁和A₂分别为两光束的初始振幅;a₁和a₂分别为两光束的截断系数;B为两光束的初始间距参数;θ为两光束的相位差,当θ=0时,两光束为同相;当θ=π时,两光束反相。

本文将(2)式和(3)式分别代入到(1)式,根据(1)式对光束在势阱介质中的传输和相互作用分别进行数值模拟。

3 传输特性与相互作用

根据(1)式,通过分步傅里叶法对艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的传输特性及相互作用进行数值模拟。

图1展示了厄米多项式阶数n=1、光束的初始振幅A₀=3、截断系数a=0.1时,势阱的强度α对艾里-厄米-高斯光束传输特性的影响。如图1(a1)所示,α=0时,光束在自由空间中传输,在初始入射时光束有两个主光斑,并且带有旁瓣。从图1(a2)~(a6)中可以看出,在X-方向上,光束在传输时满足艾里分布,但是由于衍射效应,光束的旁瓣逐渐消失。同时,两个主瓣的中心位置会随着传输距离的增大向X-轴的正方向运动,这是由艾里光束的自加速特性导致的。在Y-方向上,光束满足厄米-高斯分布,随着传输距离的增大,光斑逐渐变大,这是由于光束在Y-方向上会发生衍射。

图 1. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。 (a1)~(a6) α=0;(b1)~(b6) α=0.3; (c1)~(c6) α=0.4;(d1)~(d6) α=0.5

Fig. 1. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) α=0; (b1)-(b6) α=0.3; (c1)-(c6) α=0.4; (d1)-(d6) α=0.5

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当势阱强度α=0.3时,从图1(b1)中可以看出,光束在初始入射时在X-方向上保持艾里分布,在Y-方向上满足厄米-高斯分布。随着传输距离的增加,光斑逐渐增大,在传输距离Z=4时,光束的旁瓣逐渐消失,如图1(b2)、(b3)所示。当传输距离Z=5时,光斑呈对称形态,如图1(b4)所示。传输距离进一步增加时,光束的旁瓣又重新出现,并且与之前旁瓣的位置方向相反,也就是说光束的波形保持不变,但光场结构旋转180°,如图1(b5)、(b6)所示。对比图1(a1)~(a6)可知,势阱介质使光束的光场结构发生了旋转。这是由于在强非局域非线性介质中,艾里光束会发生周期振荡,而势阱介质是一种典型的强非局域非线性介质,会作用于其中传输的光束,使其反向,但是艾里-厄米-高斯光束在Y-方向上会发生衍射,因此只发生了光场结构的旋转。并且,在图1(b6)中可以发现,光束在Y-方向上发生显著的衍射现象。

当势阱强度α=0.4时,其他参数保持不变,如图1(c1)~(c6)所示。当传输距离Z=4时,光斑呈对称状态,如图1(c3)所示。随着传输距离的增大,光束的旁瓣重新出现,如图1(c5)、(c6)所示,光场结构也发生旋转。

当势阱强度α=0.5时,如图1(d1)~(d6)所示。光束的光场发生旋转的距离缩短,即当传输距离Z=3时,光斑呈对称状态,如图1(d2)所示。当传输距离Z=5时,出现了明显的旁瓣,如图1(d4)所示。

图1表明,势阱介质使光束的光场结构发生旋转,并且势阱的强度越大,光场结构完成旋转的传输距离越短。也就是说,可以通过调节势阱的强度来控制光场发生旋转的传输距离。

图 2. 势阱强度与光场发生旋转所需要的传输距离之间的关系

Fig. 2. Propagation distance for optical structure rotation versus intensity of potential well

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图2直观展示了在厄米多项式阶数n=1、光束的初始振幅A₀=3、截断系数a=0.1时,势阱的强度α对光束光场发生旋转所需要的传输距离的影响。观察可得,两者呈线性关系,并且随着势阱强度α的增大,光束的光场发生旋转的距离缩短。该图进一步证明势阱介质可以使光束的光场旋转,而且势阱的强度会影响光场发生旋转所需要的传输距离。

图3为初始振幅A₀=4、截断系数a=0.1时,艾里-厄米-高斯光束的初始入射图。从图3(a)可以看出,当厄米多项式阶数n=2时,入射光束在Y-方向上有3个主瓣,中间主瓣能量较大,两边主瓣能量较小,而在X-方向上有很多旁瓣。而当厄米多项式阶数n=3时,入射光束在Y-方向上有4个主瓣,中间2个主瓣能量较大,两边2个主瓣能量较小,如图3(b)所示。

图 3. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的入射图:(a) n=2;(b) n=3

Fig. 3. Diagrams of incidence of FEAHG beams. (a) n=2; (b) n=3

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图4展示了势阱强度α=0.5、截断系数a=0.1、厄米多项式的阶数取不同值时艾里-厄米-高斯光束的传输演化特性。厄米多项式的阶数n=2时,初始入射时光束有3个光斑,如图4(a1)所示;当传输距离Z=3时,光场结构开始发生变化,如图4(a2)所示;当传输距离Z=5时,光场结构已经完成旋转,此时旁瓣出现在原来的相反位置,如图4(a4)所示,与厄米多项式为一阶时情况相同。

厄米多项式的阶数n=3时,光束在初始入射时有4个光斑,如图4(b1)所示。当传输距离Z=3时,光场结构开始发生变化,如图4(b2)所示;当传输距离Z=5时,光场结构已经完成旋转,如图4(b4)所示,这一传输情况与一阶和二阶时类似;当传输距离Z=8时,光束在Y-方向上发生了明显的衍射,如图4(b6)所示。

图 4. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) n=2;(b1)~(b6) n=3

Fig. 4. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) n=2; (b1)-(b6) n=3

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图5展示了厄米多项式阶数n=1、势阱强度α=0.5、截断系数a₁=a₂=0.3时两个艾里-厄米-高斯光束的相互作用。图5(a1)~(a6)为光束的初始间距参数B=0、初始振幅A₁=A₂=1时,同相位的两光束的相互作用示意图。从图5(a1)中可以看出,初始入射时,两光束的主瓣重合,形成关于X-轴对称的上下2个光斑;随着传输距离的增加,两光束开始分离,可以观察到4个光斑,如图5(a2)所示;继续传输时,两光束又重合,此时只能观察到2个光斑,并且光斑的宽度不断发生变化,如图5(a3)~(a6)所示。

图5(b1)~(b6)为同相位的两光束在B=1时的相互作用图。从图5(b1)中可以看出,初始入射时两光束有4个主瓣,关于X-轴和Y-轴对称;当传输距离Z=2时,光束的4个主瓣演化成了关于X-轴对称的2个光斑,如图5(b2)所示;当Z>3时,随着传输距离的增大,2个光斑逐渐变大,如图5(b3)、(b4)所示,这是由光束在Y-方向上的衍射造成的;当传输距离Z=6时,主瓣又演化成4个光斑,如图5(b5)所示;随着传输距离的进一步增加,最终演化成2个光斑,如图5(b6)所示。

图 5. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) θ=0,B=0;(b1)~(b6) θ=0,B=1;(c1)~(c6) θ=0,B=2;(d1)~(d6) θ=π,B=2

Fig. 5. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) θ=0, B=0; (b1)-(b6) θ=0, B=1; (c1)-(c6) θ=0, B=2; (d1)-(d6) θ=π, B=2

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图5(c1)~(c6)为同相位的两光束在B=2时的相互作用图。从图5(c2)中可以看出,当传输距离为2时,初始入射的4个主瓣演化为2个光斑;随着进一步传输,2个光斑又演化为4个光斑,并且光斑逐渐增大,如图5(c4)~(c6)所示。

从同相位的两光束的相互作用演化图可得,通过改变两光束的间距可以实现光斑数量的控制。

图5(d1)~(d6)为反相位的两光束在B=2时的相互作用图。取光束的初始振幅为A₁=2,A₂=3,截断系数分别为a₁=0.3、a₂=0.01,以此区分两光束。如图5(d1),定义左边强度较弱、旁瓣较少的光束为光束1,右边强度较强、旁瓣较多的光束为光束2。在相互作用过程中,当传输距离比较大时,两光束的位置发生交换,强度较强、有较多旁瓣的光束2旋转到了左边,而强度较弱、旁瓣较少的光束1旋转到了右边,如图5(d4)~(d6)所示,进一步证明势阱介质会使光束的光场结构发生旋转现象的结论。

4 结论

采用分步傅里叶数值模拟方法,研究了势阱介质中有限能量艾里-厄米-高斯光束的传输特性及其相互作用关系。结果表明,有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中传输时,光场结构发生旋转,并且随着势阱强度的增大,光束的光场结构发生旋转所需的传输距离越短。进一步研究发现,具有不同厄米多项式阶数的艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的光场结构都会发生旋转。此外,具有不同初始间隔的2个有限能量艾里-厄米-高斯光束在势阱介质中的相互作用会导致传输过程中光斑的数量发生变化。2个反相位的光束的相互作用进一步证明了势阱介质中光束的光场结构在传输过程中会发生旋转现象的结论。

参考文献

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1 引言

2 基本原理

3 传输特性与相互作用

图 1. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。 (a1)~(a6) α=0;(b1)~(b6) α=0.3; (c1)~(c6) α=0.4;(d1)~(d6) α=0.5

Fig. 1. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) α=0; (b1)-(b6) α=0.3; (c1)-(c6) α=0.4; (d1)-(d6) α=0.5

图 2. 势阱强度与光场发生旋转所需要的传输距离之间的关系

Fig. 2. Propagation distance for optical structure rotation versus intensity of potential well

图 3. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的入射图:(a) n=2;(b) n=3

Fig. 3. Diagrams of incidence of FEAHG beams. (a) n=2; (b) n=3

图 4. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) n=2;(b1)~(b6) n=3

Fig. 4. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) n=2; (b1)-(b6) n=3

图 5. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) θ=0,B=0;(b1)~(b6) θ=0,B=1;(c1)~(c6) θ=0,B=2;(d1)~(d6) θ=π,B=2

Fig. 5. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) θ=0, B=0; (b1)-(b6) θ=0, B=1; (c1)-(c6) θ=0, B=2; (d1)-(d6) θ=π, B=2

4 结论

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1 引言

2 基本原理

3 传输特性与相互作用

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Fig. 1. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) α=0; (b1)-(b6) α=0.3; (c1)-(c6) α=0.4; (d1)-(d6) α=0.5

图 2. 势阱强度与光场发生旋转所需要的传输距离之间的关系

Fig. 2. Propagation distance for optical structure rotation versus intensity of potential well

图 3. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的入射图:(a) n=2;(b) n=3

Fig. 3. Diagrams of incidence of FEAHG beams. (a) n=2; (b) n=3

图 4. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) n=2;(b1)~(b6) n=3

Fig. 4. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) n=2; (b1)-(b6) n=3

图 5. 有限能量艾里-厄米-高斯光束的强度分布图。(a1)~(a6) θ=0,B=0;(b1)~(b6) θ=0,B=1;(c1)~(c6) θ=0,B=2;(d1)~(d6) θ=π,B=2

Fig. 5. Intensity distributions of FEAHG beams. (a1)-(a6) θ=0, B=0; (b1)-(b6) θ=0, B=1; (c1)-(c6) θ=0, B=2; (d1)-(d6) θ=π, B=2

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