1　引言

成像系统是获取目标信息的重要途径，光学变倍成像系统具有变化的焦距和可调节的视场，大视场可用于大范围搜索目标，小视场可用于精准识别目标，在医疗、民生等方面发挥着巨大的作用。传统光学变倍成像系统由固定焦距的透镜组、机械控制模块和图像传感器等部分组成，通过沿光轴机械移动透镜组之间的相对位置改变焦距，同时为了保证像面的稳定至少需要一个机械补偿组进行非线性移动^［1-2］。因此，传统光学变倍成像系统不仅结构复杂、体积庞大、质量较重、操作繁琐、功耗较高，而且大多数为固定的离散放大倍率，较难实现放大倍率的连续可调，限制了变倍光学成像系统的进一步应用和发展。

自适应透镜是可变焦的单透镜，具有小型化、响应快速、寿命长、功耗低、成本低等优点，可为光学变倍成像系统的小型化、轻量化，以及低功耗提供新思路。自适应透镜的焦距变化可通过改变表面的曲率半径^［3］或者光学介质的折射率^［4-5］实现。现有的自适应透镜主要包括液晶透镜^［6］、电润湿液体透镜^［7］、介电泳液体透镜^［8］和弹性薄膜液体透镜^［9］。胡轶瑶等^［6］选用两个液晶透镜搭建伽利略式的望远结构，实现放大倍率为0.5×到2×的变倍系统。四川大学Wang等^［7］把电润湿液体透镜和定焦透镜组合，设计了一款最大放大倍率为2.1×的镜头。韩国檀国大学Park等^［8］将介电泳液体变焦透镜和定焦透镜相结合，设计出一款放大倍率为3×的可调焦相机系统。美国加利福尼亚大学Zhang等^［9］采用两个自适应液体透镜设计最大变倍比约为4.5×的变焦镜头。然而液体透镜和液晶透镜均存在缺点，例如：液晶透镜对偏振敏感、透过率低、变倍范围小；液体透镜容易受到温度、振动和重力等环境因素影响，且存在液体挥发和泄漏的风险，导致成像性能不稳定。

不同于液晶透镜和液体透镜，Alvarez透镜通过垂直于光轴移动的方式实现变焦功能，具有更加小型化、大变焦比、高稳定性等优点。Alvarez透镜是光学设计者Lohmann^［10］公开的可实现变焦功能的非旋转对称自由曲面固体透镜，该透镜模型以他的名字命名，之后Lohman对该结构进行了优化改进，提出一种三次XY多项式的自由曲面结构。由于当时自由曲面的加工技术不够成熟，Alvarez透镜始终没有被应用到实际场合，随着金刚石车铣和超精密注塑成模技术的快速发展，目前已经能够生产出具有足够调制深度和表面粗糙度的自由曲面，才使得Alvarez透镜逐渐进入实际应用。2012年，北卡罗来纳大学Smilie等^［11］首次报道了一种金刚石微磨锗Alvarez透镜组的设计，并通过实验验证了该透镜的变焦和成像能力。2013年，新加坡国立大学Zhou等^［12］报道了一种MEMS驱动的Alvarez透镜，并在2017年，报道了一个1×到3×的超紧凑光学变焦内窥镜系统^［13］，该变倍系统变焦范围小，且需要复杂的驱动装置分别在X和Y方向使各组Alvarez透镜产生横向位移。2018年，杭州电子科技大学Hou等^［14］采用伽利略式望远结构设计了一个1×到3×光学变倍系统，该变倍结构可在光照良好的可见光环境下使用。因此，设计覆盖红外波段且放大倍率高的紧凑型连续光学变倍系统具有重要意义。

红外成像系统因其具有全天候工作、穿透烟雾能力强和隐蔽性好等优点，在医疗、电力、安防、监控等领域具有广泛应用^［15］。本文将采用新型变焦原理的Alvarez透镜应用于长波红外波段的连续光学变倍系统。该系统避免了机械式变焦透镜的轴向移动，通过横向移动的Alvarez透镜改变光焦度，实现了光学长度的有效压缩，同时两组Alvarez透镜的最大横向位移仅需约1 mm，即可实现放大倍率5×到15×的红外连续光学变倍。

2　Alvarez透镜变焦原理

Alvarez透镜由两片面形互补的透镜组成，其中，每一片透镜都由一个平面和一个高阶多项式自由曲面组成，如图1所示。当两片透镜沿垂直于光轴方向移动很小距离δ时，整个透镜组的光焦度随之产生较大的变化^［10］。

图 1. Alvarez透镜示意图

Fig. 1. Schematic diagram of the Alvarez lenses

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Alvarez透镜的两片透镜沿光轴的厚度可以分别描述为

式中：t₁和t₂是两片透镜沿光轴的轴向厚度；x和y是垂直于光轴的横向坐标；A是自由曲面的矢高调制系数，通过控制曲面峰谷之间的高度差控制Alvarez透镜在给定区域表面的光焦度；D是楔形量的影响因子；E是每片透镜中心的厚度，可确保透镜最薄的部分有足够的机械强度。

由于Alvarez透镜中两片透镜之间的空气间隙可忽略，因此入射到第二片透镜上的波前与紧邻第一片透镜后的波前相同。当两片透镜沿着垂直于光轴方向发生横向位移δ时，两片透镜相对于光轴的复合厚度的表达式为

由式（2）可知：第一项2Aδ（x²+y²）仅与x、y的平方和相关，为类球面项，可以替换为球面半径r；其余两项均与x、y无关，为材料厚度的附加项。则两片透镜的组合厚度值随着横向移动距离δ变化呈类似球面的变化规律。

在近轴光学设计理论中，薄透镜焦距公式为

式中：f是透镜的焦距值；n是透镜材料的折射率；r₁、r₂分别是透镜两个表面的曲率半径。当Alvarez透镜发生横向位移δ时，可将组合后的两片透镜看作是平凸或者平凹透镜，即令r₂=0。则式（3）可简化为

在近轴光学计算中，对于已知曲率半径的球面，其矢高函数可近似为一抛物面方程：

将式（5）与式（2）中的第一项联立后，有

因此，可得到Alvarez透镜的等效焦距值与两片透镜的相对横向移动距离δ之间的关系：

由式（7）可得：当δ=0时，Alvarez透镜的光焦度为0，类似平行平板；当δ>0时，Alvarez透镜的光焦度大于0，类似正光焦度的平凸透镜；当δ<0时，类似于负光焦度的平凹透镜，如图2所示。

图 2. Alvarez透镜变焦原理图。（a）光焦度为0；（b）光焦度大于0；（c）光焦度小于0

Fig. 2. Varifocal schematic diagrams of the Alvarez lenses. (a) The focal power is 0; (b) the focal power is more than 0; (c) the focal power is less than 0

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3　设计实例

3.1　设计指标

本研究期望设计能够应用在长波红外波段的光学连续变倍成像系统，系统选用分辨率为320×240、像元尺寸为30 μm的非制冷型红外探测器，主要设计指标如表1所示。

3.2　连续光学变倍系统初始设计

所设计的连续光学变倍系统是基于Alvarez变焦透镜实现的，简化的薄透镜变倍原理如图3所示。该变倍系统由两组Alvarez变焦透镜、光阑、一个定焦透镜组和红外探测器组成，所有透镜的光学材料均为Ge材料。通过改变两组Alvarez透镜的焦距实现系统光学倍率的调节。每组Alvarez透镜由两片紧密放置具有自由形状的透镜组成，微小的垂直于光轴的横向位移使Alvarez透镜发生显著的光焦度变化。采用开普勒式望远结构进行设计，两组Alvarez透镜的轴向距离L、第一组Alvarez透镜的焦距f₁和第二组Alvarez透镜的焦距f₂满足式（8），系统的放大倍率M满足式（9）。

图 3. 光学变倍系统初始结构的薄透镜变焦原理分析

Fig. 3. Initiating structure analysis of the optical zoom system using thin lens zoom principle

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依据薄透镜理论推理出合适的连续光学变倍系统初始结构参数。对两组Alvarez透镜进行光焦度的合理分配，使其始终满足式（8），保持两组Alvarez透镜的距离L为48 mm恒定不变，同时系统的放大倍率M满足式（9），最终优化出合理的系统初始结构。理论上：当光学变倍系统实现的放大倍率为5×时，第一组Alvarez透镜焦距f₁分配为40 mm，第二组Alvarez透镜焦距f₂分配为8 mm；当光学变倍系统实现的放大倍率为10×时，第一组Alvarez透镜焦距f₁分配为43.64 mm，第二组Alvarez透镜焦距f₂分配为4.36 mm；当光学变倍系统实现的放大倍率为15×时，第一组Alvarez透镜焦距f₁分配为45 mm，第二组Alvarez透镜焦距f₂分配为3 mm。因此，两组Alvarez透镜能够较好地实现开普勒式的望远结构，保证平行光进入第一组Alvarez透镜后在中间像面聚焦，并经过第二组Alvarez透镜平行出射，出射光线经过定焦透镜组，最终会聚到红外探测器上成像。

3.3　连续光学变倍系统设计

选用Zemax软件进行光学仿真。首先，在系统选项中设置如表1所示的系统孔径、视场、波长等参数。为了保证光学系统的F数固定不变，在焦距改变的同时入瞳直径也应该相应地等比例放缩，因此将光阑设置为可浮动的。其次，分别优化设计合理的单组Alvarez透镜，由第2节Alvarez透镜的变焦原理和式（7）可知，对于Alvarez透镜的优化设计，最重要的是振幅A和横向位移δ。若振幅A值设计偏小，Alvarez变焦透镜对横向位移δ过于灵敏，会破坏系统的稳定性；若振幅A值设计偏大，则达到相同变焦范围需要更大的横向位移δ，将对Alvarez透镜的驱动装置的设计带来挑战。因此在前期设计过程中，重点是依据设计指标控制透镜间距和系统光学长度，合理分配光焦度，进而建立合适的Alvarez透镜多重结构参数以及横向位移。前端变倍系统设计完成后，仍需要一个后组的红外目镜结构将平行出射的光线聚焦到非制冷红外探测器的靶面上。基于薄透镜模型以及前组变倍系统出射平行光的口径和视场等参数，单独设计优化一个焦距为5 mm红外目镜结构，矫正像差的同时将平行光会聚。

Zemax软件提供了许多自由曲面的面型供设计者选择，本文选择的自由曲面面型是扩展多项式表面，通过插入坐标间断面模拟Alvarez透镜的相对横向移动。为了减小Alvarez透镜的像差，提高成像质量，设计了高阶系数。所设计的红外变倍光学系统选取六阶系数作为变量进行优化。虽然Alvarez透镜是非旋转对称的光学结构，但是在三维坐标系中关于xoz面对称，因此在高阶系数中可以忽略x的奇次项系数。考虑加工成本的限制，每组Alvarez透镜中的两片透镜结构参数保持一致。优先设计优化单组Alvarez透镜，然后拼接两组Alvarez透镜，最后设计定焦目镜透镜组会聚光束，为了减小光学系统的复杂度，在定焦目镜设计过程中选用的透镜均为球面镜，主要承担会聚光线和矫正像差的任务。依次拼接第一组Alvarez透镜、第二组Alvarez透镜和定焦透镜组，建立初始透镜结构，设置评价函数进行局部优化和全局优化。在这个过程中优化操作数的修改加权和像质评价分析环节需要反复多次迭代，直至达到设计技术指标。优化后的两组Alvarez透镜的结构参数以及横向位移如表2所示。

分别改变两组Alvarez透镜的横向位移，使其焦距改变，在此基础上设计实现了5×到15×的连续光学变倍。受篇幅所限，以连续光学变倍中典型的5×、10×、15×放大倍率为例，图4为3种不同倍率下的光学仿真3D视图。图4表明，系统无需沿光轴移动透镜位置，即可实现光学系统放大倍率的连续改变。图5为系统不同放大倍率下的两组Alvarez透镜的横向位移。由图5可知，通过调节两组Alvarez透镜的横向位移，可使该光成像系统的放大倍率从5×到15×连续可调。

图 4. 基于Alvarez透镜的紧凑型红外连续光学变倍系统的3D视图

Fig. 4. 3D views of the infrared continuous optical zoom system based on Alvarez lenses

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图 5. 系统光学放大率与两组Alvarez透镜横向位移关系图

Fig. 5. The relationship between the optical magnification and the lateral displacement of two sets of Alvarez lenses

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4　成像质量评价

设计的基于Alvarez透镜连续红外光学变倍系统在各放大倍率组态的标准点列图如图6所示。图6表明，随着入瞳口径的增加，光斑聚焦效果略微扩散，各个组态下的均方根（RMS）半径值远小于艾里斑半径值，光斑聚焦效果优异，该变倍成像系统的成像质量较好。

图 6. 各组态对应的标准点列图

Fig. 6. Standard point column diagrams under different configurations

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系统在各放大倍率组态下的光学传递函数（MTF）曲线如图7（a）、（c）、（e）所示，系统在各个放大倍率组态下的MTF曲线均逼近衍射极限，且在17 lp/mm的特征频率下，MTF值约为0.5。各倍率组态的场曲/畸变曲线如图7（b）、（d）、（f）所示，不同组态的最大畸变值分别是2.059%、0.639%、0.756%。综合评价指标表明，该变倍光学成像系统成像质量良好。

图 7. 各组态对应的MTF曲线和场曲/畸变图。（a）（c）（e）5×、10×、15×时的MTF曲线；（b）（d）（f）5×、10×、15×时的场曲/畸变图

Fig. 7. MTF curves and field curve/distortion diagrams under different configurations. (a) (c) (e) MTF curves at 5 ×, 10 ×, 15 ×; (b) (d) (f) field curvature/distortion diagrams at 5 ×, 10 ×, 15 ×

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公差分析能够评价各项公差对光学系统成像质量的影响，并且评估光学零件加工工艺、光机装调的难易程度。在进行公差分析时，首先需要根据现有的加工精度进行公差预设，本文选择RMS半径作为参考标准进行分析，然后查找分析报告中对系统影响较大的公差因素，适当调整制造公差和组装公差，该过程需要进行多次迭代优化。主要考虑的公差操作数如表3所示，此外，还需要进一步保证扩展多项式曲面满足一定的矢高差和PV面型误差需求。矢高差R_a即自由曲面表面粗糙度的表征参数，在多项式曲面内要求上升斜率区域的表面粗糙度为30 nm，下降斜率区域的表面粗糙度为10 nm，自由曲面其他区域的表面粗糙度为10 nm；PV面型误差为1 μm。设置蒙特卡罗循环1000次，最终得到的公差结果如表4所示。以5×的组态为例，系统弥散斑RMS半径的设计名义值为0.321 μm，最佳的弥散斑RMS半径值为0.327 μm，最差的弥散斑RMS半径值为3.521 μm，平均弥散斑RMS半径值为1.277 μm，标准差为0.454 μm。结果表明，所设计系统的公差在成熟的非球面透镜的制造工艺以及组装中均较容易得到保证。

此外，对两组Alvarez透镜的偏移位置误差进行了分析，由于微小的横向位移可以使Alvarez透镜产生较大的焦距变化，选取精度为0.01 mm和0.001 mm的横向位移差进行分析，以RMS半径值作为参考指标，系统在不同放大倍率和不同横向位移偏移误差下的RMS半径如表5所示。结果表明，精度为0.01 mm和0.001 mm的横向位移均能满足该光学系统变倍及成像清晰的需求。

5　结论

基于Alvarez透镜新型变焦原理设计了一款紧凑型红外连续光学变倍系统，利用Alvarez透镜的微小横向移动实现系统放大倍率的改变，通过两组Alvarez透镜搭建开普勒式的系统结构，该光学系统视场为2°~6°、入瞳直径为2~6 mm、Alvarez透镜口径为10 mm、光学放大率变化范围为5×到15×、变倍比为3、F数为2、光学总长度约为74 mm，能够较好地满足紧凑型需求，且成像质量分析结果表明该系统可以获得理想的成像质量，具有成像质量好、变焦范围大的特点。下一步将进行系统加工和实验系统的搭建。预期采用介电弹性体驱动Alvarez透镜沿垂直于光轴方向移动。