1 引言
近年来,随着激光技术的不断发展,相位结构光束已成为空间结构光场领域的一大研究热点[1-6],广泛应用于量子信息编码[7]、微粒的分选与控制[8-11]、光学超分辨[12]及光学图像处理[13-14]等领域。其中,Ince-Gaussian(IG)光束[15]以其空间模式的多样性成为该领域的一个研究热点。
2004年,Bandres等[16-17]首次求解出了空间近轴波动方程在椭圆坐标系中的准确正交解,提出了IG光束的概念,并论证了IG光束具有丰富多样的模式分布,通过调节椭圆坐标系的参数,可以将IG光束转化为厄米高斯光束与拉盖尔高斯光束。之后的一系列研究致力于IG光束的产生与应用。2004年,Schwarz等[18]第1次在稳定谐振腔中观察到IG模式。2006年,Bentley等[19]通过振幅相位调制设计了产生IG光束的掩模板,并采用计算全息技术通过实验产生了IG光束的奇偶模式和Helical Ince-Gaussian(HIG)模式,为IG光束的应用奠定了条件。2008年,Chu等[20]将IG光束应用于涡旋阵列的生成领域,生成了一种可调的涡旋阵列模式。2011年,Woerdemann等[21]使用IG光束成功操纵了直径为1.5 μm的二氧化硅微粒,验证了IG光束丰富的横向模式分布在微粒操纵领域的独特优势。2016年,Peng等[22]将IG光束、HIG光束分别与Airy光束相结合,在理论上提出了Airy-Ince-Gaussian和Airy-Helical-Ince-Gaussian光子弹,扩宽了IG光束的应用领域。为了进一步提高IG光束光场模式的调控灵活性,2017年,马海祥等[23]提出一种初始相位因子调控的IG光束,极大地丰富了IG光束的光强模式,实现了IG光束光瓣模式在椭圆轨迹上的精确位移控制。
然而,IG光束作为一种横向光场模式最丰富的相位结构光束,对其模式分布多样性及其丰富模式独特应用的研究还远远不够。例如在微粒分选领域,IG光束的应用还仍未见报道。微粒的光学分选是指依据粒子对光场的不同响应(如大小、折射率等)对不同粒子进行不同的操控,以实现筛选粒子的目的。主要的分选方法为机械辅助方法[24]和纯光学法[25]。机械辅助法现已比较成熟,可以通过对不同粒子进行荧光标记,使用机器视觉技术对微粒进行高效分选[26],仅适用于有明确荧光标记的微粒的分选,实验装置成本较高。纯光学法的一个发展方向为微流辅助阵列光栅分选[25],该方法可对大量不同尺寸和折射率的微粒进行分选,分选效率接近100%;另一个发展方向为适合于精细操作的微流辅助单光阱分选[27]。2012年,Ma等[28]使用两个柱透镜对两束激光进行聚焦生成了一种“Y”字形光阱,使不同尺寸的微粒分选进两个通道。然而该光路需要对两束激光进行耦合,给实验光路的调节带来了困难,难以应用于工业化生产。因此,生成一种类似形状的激光模式成为迫切需要解决的技术问题。
本文基于IG光束丰富的模式分布,提出了一种“V”型因斯高斯模式理论表达式,简称为VIG模式。通过模拟与实验生成研究了VIG模式分布,以及初始相位差对VIG模式分布的调控特性,并通过力场分析定性论证了VIG模式应用于细胞分选的可行性。
2 V型IG光束的产生方法
IG光束为空间近轴波动方程在椭圆坐标系上的准确正交解。在传输距离为z的光轴截面上,定义椭圆坐标系(ξ,η)为x=f(z)cosh(ξ)cos(η),y=f(z)sinh(ξ)sin(η)。其中:ξ∈[0,∞)、η∈[0,2π)分别为径向和角向的椭圆变量;f(z)=f0ω(z)/ω0为椭圆半焦距,f0为z=0平面处的半焦距,ω0为z=0处高斯光束的束腰半径,ω(z)=ω0为高斯光束在z处的截面宽度,zR=k
/2为瑞利长度,k为波数。建立在该椭圆坐标系上的IG光束奇偶模式的电场表达式[16]为
式中:r为径向位置矢量;ε=2
/为椭圆参数;p和m分别为奇偶模式IG光束的阶数和级数[1≤m≤p,且(-1)p-m=1];e和o分别表示偶模和奇模IG光束;C和S为归一化参数,其意义在于可以使不同阶数与级数的IG光束模式统一在同一个数量级上;
和
分别为阶数为p、级数为m的偶次和奇次Ince多项式;R(z)=z+/z为光波前的曲率半径;ΨGS(z)=arctan(z/zR)为Gouy相移。
改变IG光束的阶数p与级数m,(1)式、(2)式描述的IG光束奇偶模式会变成由m个双曲节点线与(p-m)/2个椭圆节点线分割开的光瓣模式,其椭圆节点线随着参数p、m的增大而增大。此外,通过调节椭圆参数ε还可以改变双曲节点线与椭圆节点线焦点的位置,实现IG模式向厄米高斯与拉盖尔高斯模式转换[16]。因此,不同参数下的I
与I
光束叠加可以形成更为丰富的模式分布,为构造特殊形貌的光束创造了条件。考虑I
和I
叠加生成一种模式分布,相应的电场表达式为
在(3)式中,模式分布阶数p与级数m相等,因此将其看为一个参数p。此外,该光束模式为一个椭圆节点线上分布的2p个“V”字形光瓣,因此称其为“V”型因斯高斯模式,简称VIG模式。图1以p=6为例展示生成的VIG模式。图中红色与白色虚线分别为I
模式、I
模式光强最亮点所在的椭圆节点线。图1(c)展示了两模式叠加的结果。当IGo模式的阶数p为IGe模式的两倍时,由于IG光束光瓣所在的椭圆节点线随着阶数p的增大而增大[16],因此使得IGe模式的每一个光瓣的外侧正好与IGo模式每两个光瓣的内侧空间重合而形成干涉,最终生成VIG模式。另外,当IGe模式的阶数p为IGo模式的两倍时,IGo模式与IGe模式光瓣角向空间位置并未完全匹配,因而不能形成如图1所示的VIG模式。
此外,(3)式所描述的VIG模式必须满足两个限制条件:角向光瓣数目条件与径向空间位置条件。角向光瓣数目条件即满足IGo的阶数为IGe的两倍,以保证IGo模式的每两个光瓣与IGe模式的每一个光瓣相匹配;径向空间位置条件指的是IGo模式与IGe模式在空间上有交叠。下文通过数值模拟与实验分析对所提VIG模式的生成、限制条件、力场分布等方面进行研究。
图 1. IG奇、偶模式叠加生成VIG模式的过程。(a) IG6e模式分布;(b) IG12o模式分布;(c) VIG6模式分布
Fig. 1. Generation process of VIG mode based on IG even and odd mode superposition. (a) IG6e mode distribution; (b) IG12o mode distribution; (c) VIG6 mode distribution
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3 实验
下面对上述理论生成的VIG模式进行实验分析,所用实验光路如图2所示。由图2可见,激光器发出532 nm的激光经空间针孔滤波器后再经光阑和凸透镜变为一束平行光,平行光经起偏器和分束立方体后照射在写有相位掩模板的反射式空间光调制器(SLM)上,由SLM调制后的光束经检偏器以及配合小孔光阑的4f系统筛选出SLM的+1级衍射即为所需的VIG模式。最后使用CCD相机记录VIG模式的光强分布。
图 2. 实验光路原理图
Fig. 2. Schematic of experimental light path
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实验中所用连续波固体激光器的型号为MGL-Ⅲ-532-50 mW;SLM为德国Holoeye公司的PLUTO-VIS-016型相位空间光调制器,像素尺寸为8 μm,填充因子为93%,分辨率为1920 pixel×1080 pixel;CCD相机为Basler acA1600-60gc型彩色相机,像素尺寸为4.5 μm,分辨率为1600 pixel×1200 pixel。
基于计算全息技术,通过计算机编码得到振幅调制相位掩模板,并写入SLM。使用周期为d的闪耀光栅生成的振幅调制相位掩模板的复透过率函数t[19]为
式中A(x,y)和Ψ分别为VIG模式的振幅与相位。图3为该相位掩模板的产生过程,首先将VIG模式的相位(见图3(a))与闪耀光栅(见图3(b))叠加用以将±1级衍射与0级衍射分离。然后使用振幅调制(见图3(c))得到振幅调制相位掩模板(见图3(d)),最后通过计算机写入空间光调制器。
图 3. 相位掩模板的产生示意图。(a) VIG模式相位图;(b)闪耀光栅;(c) VIG模式的振幅分布A(x,y);(d)输入SLM中的相位掩模板
Fig. 3. Schematic of phase mask generation. (a) Phase pattern of VIG mode; (b) blazed grating; (c) amplitude distribution A(x,y) of VIG mode; (d) phase mask pattern in SLM
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4 分析与讨论
基于上述实验装置,在椭圆参数ε=2的情况下生成的VIG模式如图4所示。图4第1行为阶数p=2、4、6、8、10时生成VIG模式的实验光强分布;第2行与第3行分别为对应的理论模拟光强图与相位图;相位图上绿色实线表示光强所在位置。实验中的每个“V”字形光瓣均清晰可辨,与模拟结果符合得非常好,为VIG模式的应用创造了条件。
图 4. 不同阶数p下VIGp模式的光强分布和相位分布。(a1)~(e1)实验中产生的VIG模式光强分布; (a2)~(e2)模拟的VIG模式光强分布;(a3)~(e3)模拟的VIG模式相位分布,绿色实线表示光强所在位置
Fig. 4. Intensity and phase distributions of VIGp mode at different orders p. (a1)-(e1) Experimental intensity distributions of VIG mode; (a2)-(e2) simulated intensity distributions of VIG mode; (a3)-(e3) simulated phase distributions of VIG mode, the green solid line indicates the location of intensity
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由VIG模式光强分布可以发现,每个VIG模式具有2p数量的“V”字形光瓣。原因在于每个“V”字形光瓣本质上是IGe模式的每一个光瓣与IGo模式的每两个光瓣干涉而形成的,因此VIG模式“V”字形光瓣的数量等于IGe光瓣的数量,即2p。值得注意的是,VIG模式的很多性质都保留着IG光束的性质,例如:奇偶模式空间不重合位置的光强分布以及光束的传输特性等。当p较小时,光瓣所在椭圆节点线的径向椭圆变量较小;当p=2时,光束上下两边的“V”字形光瓣因距离太近而连接在了一起;随着p增大,各个“V”字形光瓣所在椭圆节点线逐渐增大。为了方便研究,本研究以理论模拟得到的奇、偶模光瓣最亮点所在椭圆节点线的径向椭圆变量的均值,近似代替VIG模式所在椭圆节点线的径向椭圆变量X,选取不同的函数进行数据拟合。结果发现参数p与“V”字形光瓣所在椭圆节点线径向椭圆变量的关系为对数函数的关系:X=0.68+0.45ln(p-0.83),相关系数为0.9997。该关系为VIG模式的调控提供了数据支撑。此外,由图4(a3)~(e3)中“V”字形光瓣内的相位分布可以看出,“V”字形光瓣所在位置的相位梯度较小(各个光瓣的平均相位梯度约为0.04π),这就意味着波矢量近似为沿光轴方向。因此,当使用VIG模式进行微粒操纵时,在光轴截面上的力场分布主要为梯度力场。
研究中发现,随着参数p取值增大,奇偶模式光瓣所在椭圆节点线的间隔越来越大,而光瓣的大小几乎不变,因此p必存在一个阈值P,当p>P时,奇偶模式光瓣不符合所提出的径向空间位置条件,无法形成VIG模式。为了定量分析VIG模式的限制条件,使用数值模拟的方法进行研究。图5(a)~(e)为探究VIG模式的径向空间位置条件。选取最大光强的1/5为光瓣范围的阈值,则奇模光瓣径向椭圆变量ξ最小值所在椭圆节点线为图5中白色虚线所示;偶模光瓣的径向椭圆变量ξ最大值所在椭圆节点线为图5中红色虚线所示。只有白色椭圆节点线在红色椭圆节点线内时,偶模光瓣与奇模光瓣才有重叠部分,满足产生VIG的径向条件。模拟发现,当阶数小于17时,红色椭圆节点线在白色椭圆节点线外,奇偶模光瓣有重合部分;当参数为17时,红色椭圆节点线与白色椭圆节点线基本重合(径向椭圆参数相对误差为0.36%),此时为产生VIG模式的临界点;当参数大于17时,红色椭圆节点线在白色椭圆节点线内,不能产生VIG模式。因此,VIG模式的径向空间位置条件为p≤17。
图5(f)~(j)给出了VIG模式的角向光瓣数目条件。当奇、偶模参数相同时,光强分布在同一个椭圆节点线上,奇偶模光瓣以1∶1配对时,形成螺旋IG光束[23]。随着奇模参数增加,奇模光瓣与偶模光瓣所在椭圆节点线分离,且距离逐渐变大,奇、偶模角向光瓣失配。当奇模参数增加到偶模参数的两倍时,角向光瓣由失配转为偶奇模光瓣以1∶2配对,构成所需要的VIG模式。该条件即为VIG模式的角向光瓣数目条件。
图 5. VIG模式形成的限制条件
Fig. 5. Limiting condition of VIG mode generation
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由于VIG模式是由IG奇偶模式叠加而成的,对改变奇偶模式初始相位差的VIG模式分布的研究具有重要意义。图6为向偶模施加一个初始相位后的VIG模式分布。其中图6(a)~(l)为0~2π等间隔取12个初始相位的VIG模式光强图;图6(a1)~(l1)为相同参数的相位图,图中绿色实线为光强所在位置。可以看出,随着初始相位增加,每个“V”字形光瓣逐渐分裂为两个光瓣,最终在初始相位差为π/2时形成两小两大光瓣相间的分布。其原因是IG光束的奇偶模式相位为黑白相间分布[16],因为奇模阶数是偶模阶数的两倍,所以偶模相位周期为奇模相位周期的50%,偶模的一个黑色或白色条纹对应着奇模的一对黑白条纹。进而,当偶模增加π/2初始相位时,每个VIG模式奇偶模干涉处因奇模相位不同而一处变亮一处变暗。例如图6(d)红色虚线左侧“V”字形偶模光瓣并入进了左边的奇模光瓣,相位也耦合在了一起。当相邻两个“V”字形光瓣奇模的相位分布相同时,由于偶模相位不同,两个IG模式干涉处的亮暗变化相反,形成了一对短条纹和一对长条纹相间分布。随着初始相位差由π/2变化到π,又重新形成了VIG模式。继续增加初始相位到2π的变化趋势类似,不同的是每个VIG模式形成的长短条纹正好对调。其原因与0~π的情况类似,不再重复分析。此外,对奇模增加初始相位的变化过程与对偶模增加初始相位的变化过程互逆[23],这里也不再重复分析。
图 6. VIGpe,φ模式的强度和相位分布。(a)~(l)偶模添加初始相位后的VIG模式光强分布;(a1)~(l1)偶模添加初始相位后的VIG模式相位分布,绿色实线表示光强所在位置
Fig. 6. Intensity and phase distributions of VIGpe,φ mode. (a)-(l) Intensity distributions of VIG mode after initial phase is added to even mode; (a1)-(l1) phase distributions of VIG mode after initial phase is added to even mode, the green solid line indicates the location of intensity
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图4已经分析了VIG模式光轴截面上的力场主要为梯度力,为论证VIG模式的应用价值,下面主要研究其梯度力场分布。图7所示为参数p=4,ε=2时,理论模拟的VIG模式的光强分布以及不考虑光束与粒子相互作用的梯度力场分布。如图7所示,为了便于区分每个光瓣,对其编号。图7(b)~(j)为梯度力场分布图,背景图形为梯度力的大小,箭头为梯度力的方向。整体来看,只有分布在光束椭圆节点线长、短轴上的光瓣梯度力场呈轴对称分布,如图7(b)、图7(d)、图7(h)和图7(j)所示。其原因在于IG光束不同光瓣的光强分布不均匀。由于光瓣越靠近光强分布椭圆节点线的长轴,总光强越大[29],奇偶模式的光强分布关于椭圆节点线的长、短轴对称。因此叠加后的VIG模式光强分布也关于长、短轴对称,长、短轴上的“V”字形光瓣梯度力场呈轴对称分布,光瓣2、4、6、8的力场分布也是相同的。下面以光瓣2为例,依据其力场分布定性分析粒子运动的可能性。如果一个静止的粒子在“V”字形光瓣根部(光瓣右下角)被捕获到,则由梯度力的指向可以发现粒子最终会优先被捕获到光瓣右上部分梯度力场的暗核处。只有当粒子指向左侧暗核有一个初始速度,使粒子越过一定阈值时才能被左侧暗核捕获,由于不同尺寸的粒子在微流运动中的惯性与受力不同,VIG模式有望实现不同尺寸微粒的分选。此外,如果粒子的初速度大于一定的阈值,使得梯度力不足以改变粒子的运动方向,所有粒子均会朝左侧暗核运动。如果粒子的初速度沿着右上方向上的力场暗核,则所有粒子均会向右上方向运动,光瓣不再具有分选能力。
图 7. 参数p=4时VIG模式的梯度力。(a)模拟的VIG模式光强分布;(f) VIG模式的梯度力分布图;(b~e)和(g~j)分别对应8个“V”字形光瓣的梯度力分布
Fig. 7. Gradient force of VIG mode with parameter p=4. (a) Simulated intensity distribution of VIG mode; (f) gradient force distribution of VIG mode; (b-e) and (g-j) corresponding to the gradient force distribution of the eight “V” shape light petals
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上述分析定性地给出了“V”字形光瓣应用于细胞分选的可行性。为了更精确地指导实际应用,利用参考文献[
30]的方法,给出一个激光捕获力的数值范围。激光的捕获力可以表示为
式中:F为全部的捕获力,N;Pf为微粒处的激光功率,W;Q为无量纲捕获效率,表示转移到被捕获物体上的入射光动量;c为真空中的光速;n为微粒周围介质的折射率。
若微粒周围的介质为水,可以估算一个VIG模式对微粒捕获力的范围。水的介质黏度为1,在水中10 μm的微粒的最大横向捕获效率Q约为0.1934[31],实验中所用532 nm连续波固体激光器的最大功率为50 mW,水对绿光的折射率约为1.33。利用(5)式计算得到VIG模式在水介质中对直径为10 μm的微粒的最大捕获力Fmax=42.87 pN。可以通过调节激光器输出功率来改变作用到微粒上的激光功率,从而根据实际需要调节VIG模式的捕获力在Fmin=0 pN到Fmax=42.87 pN之间变化。
图8所示分别为理论模拟与实验得到的VIG模式的梯度力分布。由图8(b)可以看出,“V”字形光瓣的中间较暗而周围边缘处较亮,颜色越亮代表梯度力越大,蓝色箭头指向梯度力的方向。对比模拟结果和实验结果可以发现,实验产生的VIG模式具有与理论模拟一致的梯度力分布,可在光镊系统实验中实现操控微粒和细胞分选等工作。
图 8. (a)模拟与(b)实验得到的VIG模式的梯度力分布
Fig. 8. Gradient force distributions of VIG mode obtained by (a) simulation and (b) experiment
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为了研究的完整性,本课题组还对多个IG模式叠加的情况进行研究。图9为I
、I
、I
的叠加光强模式分布,(a1)~(e1)为实验图,(a2)~(e2)为理论模拟图。可以发现,这三种模式叠加可以生成类似于VIG模式的三个分支的模式,称为三分支VIG模式,其光瓣个数规律与VIG模式相同(2p个)。此外,研究表明,具有初始相位差的VIG模式以及三分支VIG模式可以调控光瓣连接处的光强,有望在细胞分选领域改变分选阈值,但因篇幅所限,此处不再具体论证。
图 9. (a1)~(e1)实验得到的3分支VIG模式的光强分布;(a2)~(e2)模拟得到的3分支VIG模式的光强分布
Fig. 9. (a1)-(e1) Intensity distributions of three branches VIG mode obtained by experiment; (a2)-(e2) intensity distributions of three branches VIG mode obtained by simulation
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5 结论
当IG光束的奇偶模式满足一定的角向光瓣数目条件(奇模参数数量为偶模参数数量的两倍)与径向空间位置条件(阶数p≤17)时,可以干涉叠加生成一种每个光瓣均为“V”字形的VIG模式。“V”字形光瓣个数为2p个,且分布于一个椭圆节点线上。该椭圆节点线的大小依赖于其参数p为一个对数函数的关系:节点线径向椭圆变量X=0.68+0.45ln(p-0.83),相关系数为0.9997。此外,通过调节奇偶模式的初始相位差,可以实现“V”字形光瓣向两大两小相间分布的分离光瓣模式连续转变,并可以实现大小光瓣空间位置的对调。通过力场分析定性证明了VIG模式具有应用于细胞分选的可能性,并且由于VIG模式是由计算全息法产生的,与传统使用两柱透镜聚焦两束激光生成“Y”字形光束的方法相比,显著简化了光路结构。扩展研究发现,使用I
、I
、I
这三种模式叠加可以产生三个分支的VIG模式。
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