1 引言

天文学观测对提高望远镜性能提出了迫切需求,目前增加镜面口径是提升望远镜集光能力与分辨本领的有效手段。但望远镜主镜口径的增大和质量的急剧增加将导致单一型主镜结构在镜面加工、检测、支撑设计与轻量化以及运输、发射等方面存在一些困难。拼接式主镜结构是解决这些问题的有效途径,并且已成为大口径天文望远镜的发展趋势^[1-2]。

然而,拼接式主镜因其特有的多子镜拼接结构将导致装调难度的增加。有研究指出,当各子镜间共相位误差均方根值小于1/20波长时,才能达到与单一型主镜等价的光学效果^[3]。共相位误差包含子镜间平移误差与倾斜误差两类,在实现各子镜共焦之后,倾斜误差已较小,但仍存在很大的平移误差。色散条纹传感技术是一种针对子镜间平移误差的检测方法,该方法使用宽光谱光源与色散元件,通过长基线干涉来消除检测时存在的2π不确定性问题,具有较大的平移误差检测量程。该方法已被詹姆斯•韦伯空间望远镜在轨装调过程所采用,作为粗共相过程中检测子镜间平移误差的主要手段^[4],并已成功实现对Keck望远镜的共相误差检测^[5-6]。

色散条纹传感技术需要以一定的方法对采集的色散条纹图像进行处理、分析,才能得到所对应平移误差的具体值。目前,基于色散条纹图像的平移误差提取方法主要有最小二乘拟合法^[7-10]、频域次峰位移提取法^[11-12]以及主峰位移提取(MPP)法^[13-14]等。然而前两种方法在子镜间平移误差较小时不适用。当平移误差接近一个波长或者在一个波长以内时,第一种方法所使用的有效信号已不足一个周期,无法保证拟合精度^[10];而频域中一个像素对应一个光相干长度,频域次峰位移量小于一个像素时,难以利用第二种方法计算平移误差值^[11]。并且前两种方法只对色散条纹图像进行空间频率信息提取^[15],未能充分利用色散条纹图像在衍射方向的信息。而MPP法能充分提取色散条纹图像信息,检测范围不受此限制,对粗共相过程与精共相过程的无缝衔接具有重要意义^[4]。

当前的平移误差检测精度依赖于色散条纹中心线标定精度,需要对探测器上色散条纹中心线的位置(子镜间无平移误差时,各波长衍射光强最大值位置连线)进行准确标定^[10,16]。然而即使能够在实验室条件下进行准确标定,在实际应用过程中,很可能由于外力作用或者其他因素的影响造成检测光源、棱栅或者探测器的相对位置发生改变,导致实际条纹中心线位置偏离实验室条件下得到的标定位置,从而出现标定误差。若处理不当,这种标定误差会对MPP法的平移误差探测精度造成较大的影响。

本文从理论、仿真与实验等方面入手,重点针对如何消除标定误差对MPP法的影响进行了相关的研究。简要介绍了色散条纹图像产生的原理以及MPP法原理,研究了标定误差对MPP法的影响效果,提出了基于曲线拟合的条纹中心位置标定方法,以及修正标定误差影响的方法,最后通过仿真与实验验证了标定方法及修正方法的有效性。通过对MPP法进行改进,有效地提高了该方法用于检测平移误差时的抗干扰能力与工程实用性。

2 色散条纹图像以及MPP法原理

色散条纹图像的产生是基于复色光的双孔衍射与色散。以双矩形的干涉区域选择光阑覆盖拼接镜两子镜光束成像为例:由两块子镜反射的携带共相误差的波前在瞳面上分别通过干涉区域选择光阑的双孔发生衍射,在其后经棱栅发生色散,经透镜成像在探测器靶面,形成波长与光强分布关系相对应的色散条纹图像,如图1所示。

图 1. 色散条纹图像产生原理

Fig. 1. Production principle of dispersed fringe image

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色散条纹图像上不同位置的光强分布可表示为^[13]:

I(x,y)=∫λminλmax2abλf2×sincayλfsincb{x-f·tan[φ(λ)]}λf21+cos2πλδ+2πdyλfdλ,(1)

式中a、b和d分别为光阑的宽度、长度以及双孔中心间距,(λ_min,λ_max)为图像上波长λ的范围,f为成像透镜等效焦距,φ(λ)为色散元件的色散角,δ表示两子镜反射波面的光程差,其值为两子镜间平移误差δ₀的两倍。

根据单色光双矩孔衍射原理,可知光强峰值点位置随平面波相位差呈周期性变化^[13]。在一个周期内,光强峰值相对于光程差为零时的位置偏移量与光程差之间近似呈线性关系:

δ=yTλ,(2)

式中,y为实际峰值偏移量,T为最大偏移量。基于复色波的MPP法可以解决周期性问题。对于不同的波长,相同的光程差将对应衍射方向上不同的峰值偏移量,以及色散方向上不同的衍射级次。用MPP法对色散条纹图像进行二维信息提取,如图2所示。

图 2. MPP法对色散条纹图像的二维信息提取

Fig. 2. Two-dimensional information extraction of dispersed fringe image by the MPP method

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可以建立如下关系式:

δ=Niλi+niλi,(Ni=0,1,2,…,0≤ni<1)δ=Njλj+njλj,(Nj=0,1,2,…,0≤nj<1)niλi=yiTiλi,njλj=yjTjλj,Δij=Ni-Nj=δλi-δλj,(λi<λj),(3)

式中,N_i、N_j分别表示波长λ_i和λ_j处光程差包含整数波长的个数;n_i、n_j分别表示光程差不足整数波长的部分;T_i、T_j分别为两波长处最大偏移量,其值为主峰与次峰间距;Δ_ij表示波长λ_i和λ_j的干涉级次差值。利用该关系可以消除2π不确定性问题,得到光程差为:

δ=λiλjλj-λi(Δij+ni-nj)。(4)

为得到上式中平移误差不足整数波长的部分,利用MPP法检测平移误差,需要确定对应波长光强峰值相对于光程差为零时的位置的偏移量,此位置即为色散条纹中心线位置,因此色散条纹中心位置的标定尤为重要。

3 标定误差对MPP法影响的分析

在实验室与工程应用中,一般采取滤波片定位波长标定的方式进行色散条纹中心位置标定。如图3所示,由于存在滤波片定位误差,实际波长标定点(图中十字点)相对于正常波长标定点(图中圆点)发生偏离;另外可能由于外力作用或者其他因素的影响造成检测光源、棱栅相对探测器的位置发生改变,这些都将导致真实色散条纹中心线位置偏离实验室条件下的标定位置,此即为标定误差。将标定的中心线位置作为信号采集轴,图3中红色虚线与蓝色实线分别表示实际信号与理想信号的采集轴,二者发生的偏离将导致实际采集位置对应的波长与主峰位置偏移量不再是理想值,从而使结果存在误差。

图 3. 色散条纹中心线位置标定误差示意图

Fig. 3. Schematic of the calibration error for the central line position of dispersed fringe image

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标定误差有两种形式,表现为标定中心线相对于实际中心线的平移与旋转(设旋转角度为ε)。对于子镜间平移误差为-20 μm的情形,随着旋转角度的增大(即中心线位置标定误差的增大),MPP法的检测结果如表1所示(计算所用的λ_i=575 nm,λ_j=675 nm)。

由表1可见,不存在标定误差时,MPP法检测误差为4 nm,但随着标定误差的增大,MPP法检测精度迅速降低。在旋转角为1°时,误差已达到2.567 μm,此时已失去对2.5 μm以下子镜间平移误差进行检测的能力;在旋转角大于0.4°时,误差已大于1 μm,此时已无法满足粗共相过程中将子镜间平移误差降到一个波长以内的要求,无法保证粗共相与精共相过程的无缝衔接。

因此有必要针对标定误差对MPP法影响的修正方法进行研究,即研究存在标定误差时的MPP法,提高其在实际检测条件下的平移误差检测精度,进而提高波前检测过程的可靠性。

4 标定误差对MPP法影响的修正方法

本节致力于研究在存在色散条纹中心线标定误差的情况下,如何提高MPP法的精度与可靠性。首先,提出一种自适应色散条纹实际中心线提取方法,可准确得到中心线偏转误差等参数;然后,根据得到的参数,对MPP法进行改进,以修正标定误差的影响。

4.1 色散条纹实际中心线位置标定方法

双孔衍射是由单孔衍射与双光束干涉共同调制的结果。对于双光束干涉现象而言,在双光束存在附加光程差时,在干涉方向y方向上,干涉条纹发生相应的位移,位移量与附加的光程差相关。而双孔衍射可看作是用单孔衍射的效果对双光束干涉效果进行调制的结果,以双矩形孔为例,其具体形式为^[17]:

I(x,y)=4I0sinαα2sinββ2cosφ0+φδ22,(5)

式中, sinαα2与 sinββ2为单矩形孔在y与x两个相互垂直方向的衍射因子α是一个与矩形孔宽度a、波长λ、坐标y以及焦距f有关的参数,β是一个与矩形孔长度b、波长λ、坐标x以及焦距f有关的参数; cosφ0+φδ22为两个等振幅、不同相位差的光束的干涉因子φ₀为一个与位置y有关的相位因子;I₀为入射光强;φ_δ=2πλδ为平移误差引起的相位差,以下称为平移相差。

为方便分析子镜间平移相差对双矩形孔衍射光强分布的影响,此处只考虑一个方向的光强分布,则(5)式可以改写为:

I(y)=4I0sin2αα2cosφ0+φδ22。(6)

平移相差对双矩形孔衍射的影响如图4所示,在φ_δ=0时,双光束干涉因子、单矩形孔衍射因子以及整个衍射图样的强度分布如图4(a)、(c)以及(e)和(g)所示;在φ_δ≠0时,双光束干涉因子、单矩形孔衍射因子与衍射图样的强度分布如图4(b)、(d)以及(f)、(h)所示。

图4中m、n分别为干涉与衍射级次。可见由于平移相差的存在,导致双光束干涉因子产生相移,从而引起最终衍射图样的变化,但平移相差并没有改变单孔衍射因子的变化。体现在双矩孔衍射图样上的效果是包络线的形状没有因为平移相差的存在而发生改变,只是内部各强度极大值的位置发生改变,而各强度极大值仍然落在包络线上。因此,已知各峰值的位置与强度值,拟合包络线的形状,其最大值位置即为不存在平移相差时强度的最大值位置。

沿着衍射方向(y方向)对信号强度分布进行采样,确定各级干涉峰值的位置以及强度,即(y_m,I_m),m=1,2,3,…,利用如下描述包络线形状的函数对该组数据进行拟合:

I=k·sin2(y-b)(y-b)2,(7)

得到实际k与b的值,而此处b的位置即为包络线顶点的位置。

沿着色散方向(x方向)的N个不同位置处进行相同的处理,得到各波长位置对应的包络线顶点位置,对得到的一组坐标(x_i,b_i)(i=1,2,3,…,N)进行直线拟合,所得直线即为实际的色散条纹中心线位置。

4.2 标定误差对MPP法影响的修正方法

中心线标定位置相对于实际中心线位置的偏差可分解为中心线的平移与旋转误差。首先考虑最初标定的中心线相对于实际中心线在衍射方向上存在平移量δ_L的情况,对于两个波长λ_i和λ_j位置处峰值位置在中心线同侧时,实际的峰值偏移量y'_i与y'_j为:

图 4. 平移相差对双矩形孔衍射的影响。 (a)等相位差双光束干涉因子; (b)不等相位差双光束干涉因子; (c)无平移相差时单矩孔衍射因子; (d)有平移相差时单矩孔衍射因子; (e)无平移相差时双矩孔衍射一维强度分布; (f)有平移相差时双矩孔衍射一维强度分布; (g)无平移相差时双矩孔衍射二维强度分布; (h)有平移相差时双矩孔衍射二维强度分布

Fig. 4. Effect of piston phase error on the diffraction pattern of double rectangle hole. (a) Double beam interference factor without piston phase error; (b) double beam interference factor with piston phase error; (c) single rectangle hole diffraction factor without piston phase error; (d) single rectangle hole diffraction factor with piston phase error; (e) one-dimensional diffraction pattern of double rectangle hole without piston phase error; (f) one-dimensional diffraction pattern of double rectang

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y'i=yi-δLy'j=yj-δL。(8)

假设n'_i、n'_j分别为实际两波长处光程差不足整数波长的部分,根据(1)式和(2)式有:

n'i-n'j=ni-nj+δL(Ti-Tj)TiTj。(9)

一般情况下T_i≈T_j,即n'_i-n'_j≈n_i-n_j,根据(4)式计算得到的光程差值不变,可见此时平移量的存在对检测结果的影响可忽略。但如果两波长位置处峰值位于中心线异侧,(8)式中符号异号,将导致检测误差,可以通过波长位置的选取加以规避。

若标定中心线方向与实际中心线方向存在微小旋转角度ε,如图5所示,标定的色散条纹中心线与x轴重合,实际条纹中心线与x'轴重合。在x-y坐标系下,波长λ_i处条纹峰值位置位于P(x_i,y_i)点。需要确定此点在x'-y'坐标系下的实际位置(x'_i,

图 5. 条纹中心线不同时同一峰值位置所对应波长与峰值偏移量的差异

Fig. 5. Difference between the wavelength and the peak offset corresponding to the same peak position when the center line of the fringe is different

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y'_i),以计算实际对应的波长与峰值偏移量。

由图5中的几何关系可得Q点在x'-y'坐标下的横坐标x'_i以及对应的实际波长λ'_i与峰值偏移量y'_i分别为:

x'i=xicosε-xitanε+yicosελ'i=λ0+x'ixi(λi-λ0)y'i=(yi+xitanε)cosε,(10)

式中λ₀为以上坐标系中心位置处的波长。则峰值偏移量y'_i对应λ'_i不足整个波长的部分n'_i为:

n'i=y'iT'i,(11)

式中T'_i为最大偏移量,类似地可得到在原标定坐标系下λ_j处所对应的实际波长位置λ'_j、峰值偏移量y'_j、不足整数波长部分光程差数n'_j以及最大偏移量T'_j,实际光程差公式改写为:

δ=λ'iλ'jλ'j-λ'i(Δij+n'i-n'j)。(12)

根据所提出的色散条纹中心线位置标定方法获得旋转误差参数,代入(12)式进行平移误差的计算,从而对标定误差的影响加以修正。

5 仿真与实验验证

5.1 仿真验证

由于前文已经说明色散条纹中心线位置平移量标定误差对计算结果的影响可忽略,这里只考虑对中心线旋转误差的修正效果。与表1类似,对于平移误差为-20 μm以及旋转误差由0°增大到1°的情形,未对中心线旋转误差进行修正以及利用所提修正方法进行修正之后,MPP法计算误差分别如图6

图 6. 旋转角度增大时改进前后MPP法的检测误差

Fig. 6. Detection error before and after the improvement of the MPP method as the rotation angle calibration error increases

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中黑色方块与红色圆点所示。

计算所用λ_i=575 nm,λ_j=675 nm。仿真结果表明,改进后的方法对于相同旋转角度的检测误差下降。特别是在旋转角度明显 (ε=1°) 时,改进前方法的检测误差达到2.6 μm,而改进后保持在0.02 μm以内,可满足粗共相过程对色散条纹共相误差检测精度的要求。

5.2 实验验证

在实验室搭建了拼接镜共焦共相实验平台,采用激光光路进行准直,完成光路搭建。再根据由粗到精、逐渐收敛的原则,对拼接镜间倾斜误差与平移误差进行闭环检测与调整,使其达到共相位目的,然后用所提修正标定误差影响的方法进行实验验证。实验光路如图7所示。具体实验操作步骤如下:

1)采用共焦相机对视场内拼接镜像点进行对准,调整较大倾斜误差与平移误差,再利用参考镜与拼接镜迈克尔逊干涉原理,对拼接镜较小倾斜量进行调整,完成拼接镜共焦;

2)利用白光色散条纹传感光路对拼接镜间平移误差进行检测,并通过运动平台(6自由度电位移平台与压电陶瓷驱动器组合平台)对拼接镜位姿加以调整,使平移误差逐渐收敛;

3)通过干涉仪光路检测拼接镜间残余平移误差作为参考值或标准值;

4)按照所提色散条纹中心位置标定方法对色散条纹图像的中心位置进行提取;

5)采用上述标定误差对检测误差影响的修正方法对MPP法的检测结果加以修正。

为引入一定量的标定误差,实验中将色散条纹图像探测器像素行采样方向作为标定色散方向,将其安装在一个旋转装置上,使其与棱栅色散方向产生一定的旋转角度,真实值为0.570°,从而使标定色散条纹中心位置相对于真实色散条纹中心位置存在偏差。根据所提基于曲线拟合方法的色散条纹中心信号位置提取方法所计算得出的旋转角度为0.562°,比波长标定质心算法计算得出的旋转角度1.014°更为接近真实值。因此验证了该方法用于色散条纹中心位置提取时的准确性与有效性。

图 7. 平移误差检测实验光路

Fig. 7. Experimental optical path for the detection of piston error

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用干涉仪进行平移误差检测时,由于存在2π不确定性问题,只能对一个波长以内的平移误差进行直接检测。实验首先将子镜间平移误差所引入光程差调整到一个波长以内,此时直接利用干涉仪验证对标定误差影响修正前后MPP法的精度;在此基础上,利用运动平台精确引入某一已知平移误差(实验中为100 μm),继续验证对标定误差影响修正前后MPP法的精度。实验中采用的λ_i=546 nm,λ_j=569 nm。两组实验对应的该波段色散条纹图像如图8(a)与(b)所示,检测精度如表2所示。

图 8. 在目标波段内两组平移误差所对应的色散条纹图像。(a) 0.055; (b) 100.055

Fig. 8. Dispersed fringe images corresponding to the two sets of piston error in the target wavelength range. (a) 0.055; (b) 100.055

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从表2中的数据可以看出,所提方法能够有效提高MPP法的检测精度,并且在不同的平移误差范围内都有效。特别是在较小的平移误差下进行检

测时,能获得0.027 μm的精度;当平移误差较大时,虽然修正后精度降低,但相比修正之前仍有较大的提高。

6 结论

本文通过分析色散条纹中心位置标定误差,对基于色散条纹图像的共相误差检测方法的影响效果进行了修正方法研究。重点分析了存在标定误差时MPP法检测精度下降的问题,并根据色散条纹图像产生原理,提出了一种基于曲线拟合的色散条纹中心位置标定方法。研究结果表明,该方法不仅适用于修正标定误差对MPP法的影响,还适用于其他基于色散条纹图像的共相误差检测方法对准确标定色散方向的需求,同时大大提高了MPP法检测平移误差时的抗干扰能力。