呼吸子泛指一类具有周期演化或周期分布结构的非线性波，它已成为非线性光学系统的研究热点之一。研究多种呼吸子的时空动力学特征具有实际的物理意义。本文基于孤子理论中的Darboux变换方法构造出AB系统在椭圆函数背景下的多呼吸子解，并进一步分析了呼吸子的非线性动力学特征。首先，基于AB系统的Lax对，通过修正的平方波函数法与行波变换法获得该系统的椭圆函数周期解以及Lax对的基本解。然后，通过椭圆函数积分公式和Darboux变换迭代算法，推导出dn和cn两种椭圆函数背景下的一阶和二阶呼吸子解的解析表达式。另外，讨论了三种呼吸子的动力学特征，主要包括一般呼吸子（GB）、Kuznetsov-Ma呼吸子（KMB）和Akhmediev呼吸子（AB）。最后，研究了在dn背景下GB和KMB相互作用的时空结构以及在cn背景下两个GB相互作用的时空结构。本文研究结果将有助于理解在非线性光学领域中周期背景下的呼吸子动力学特征和相互作用行为。

近年来，智能光子学领域取得了蓬勃发展。其中，机器学习算法与超快光学的结合展现出了巨大潜力，不仅给超快光学系统带来了新功能，也极大地提升了系统的性能。特别地，机器学习已在锁模激光器中获得了广泛应用。本文着重介绍机器学习算法及控制系统在超快光纤激光器中的应用，包括产生和操控孤子锁模脉冲、时空锁模脉冲、呼吸子脉冲以及分形呼吸子。

锁模激光器除了可以产生稳定的超短脉冲以外,还可产生一系列重要的非平衡态动力学过程。这些快速变化的动力学过程有助于理解超快激光器和相关非线性系统的动力学,也对超快激光器的稳定性设计有重要指导意义。随着超快探测技术的发展,锁模激光器超快动力学的研究取得了一系列突破。介绍了锁模激光器几个典型的非平衡态动力学过程,包括锁模启动过程,孤子分子动力学,呼吸子超快激光,以及孤子、呼吸子爆炸动力学。这些研究不仅揭示了超快激光器中新的物理机制,也将进一步促进超快激光器、孤子及呼吸子相关理论的发展。

本文基于变系数相干耦合非线性薛定谔方程组的复合波解,研究了均匀和非均匀相干耦合光纤系统中平面波背景上的孤子与Akhmediev呼吸子和Kuznetsov-Ma呼吸子间的相互作用。研究发现,孤子与Akhmediev呼吸子间存在弹性碰撞、准弹性碰撞和非弹性碰撞三种形式,而孤子与Kuznetsov-Ma呼吸子间呈现弹性碰撞或平行传输。进一步,通过研究一种周期扰动的非均匀相干耦合光纤系统,发现色散和非线性的周期扰动不会影响孤子与呼吸子相互作用的本质,但均会引起复合波振幅的波动;另外,仅色散扰动会导致孤子的轨迹产生波动,而非线性的扰动不会影响孤子的轨迹。

实验上观测了贝塞尔光束在饱和非线性介质中的呼吸传输行为,出射光斑的时间演化过程验证了其传播存在呼吸现象。结合怪波形成的线性几何会聚理论和非线性诱导理论,进一步通过实验设计,使具有一定间隔的两束贝塞尔光束以一定夹角入射,当两个贝塞尔呼吸子在出射面碰撞时,可获得一个巨峰,该巨峰的峰值能量为线性情况下的3.1倍。此光斑的高峰值特性和反相位边锋的分布特性与怪波的基本特性吻合。相应的数值模拟结果与实验结果也表现出很好的一致性。研究结果为光怪波的形成提供了一种有效的线性和非线性相结合的设计方法,对海洋怪波的研究有一定的借鉴意义。

采用达布变换法得到了标准非线性薛定谔方程的一阶呼吸子解及其怪波极限,研究了一阶呼吸子解的动力学特性。借助达布变换的递推关系得到了非线性薛定谔方程的高阶呼吸子解,并分别研究了碰撞叠加、分离、简并和并行传输模式。当各呼吸子的频率趋于零时,得到非线性薛定谔方程怪波极限。研究结果表明,怪波幅值、凸起数以及怪波分裂后中心波峰的阶数和周围的波峰个数均与怪波阶数有关。

采用自相似方法,时空调制的光子晶格广义变系数的非线性薛定谔方程化简为常系数方程,将相关的表达式代入原方程,得到了不同传播形式的精确孤子解,并详细讨论了周期性分布的亮、暗呼吸子的传输性质。

基于同时包含四阶色散项和四阶非线性项的非线性薛定谔层级结构的四阶可积方程(LPD 方程),首先利用达布变换法得到LPD方程的单呼吸子解,并对呼吸子的动力学特性进行研究,得到呼吸子与W型孤子、抖动的W型孤子和周期波的转换关系;其次,借助达布变换的递推关系得到LPD方程的双呼吸子解,并利用呼吸子与孤子之间的转换关系,研究呼吸子与孤子以及呼吸子与周期波的碰撞特性;最后,对双呼吸子的碰撞特性进行更为详细的研究,得到双呼吸子的交叉碰撞、平行叠加及双呼吸子的简并态等动力学特性。

利用1+2维S-M模型求得了强非局域非线性介质中厄米高斯孤子解析解。在强非局域条件下, 解析解与精确数值解比较符合的很好, 随着非局域程度的降低或高阶光束阶数的增大, 解析解与数值解出现偏差。对高阶光束的传输特性进行了讨论, 得到了高阶光束稳定传输时的相移, 其大小与高阶光束的阶数有关, 随着阶数的增大, 相移减小。