几何结构标定误差对偏折术的影响

李萌阳; 袁晓东; 曹庭分; 刘长春; 张尽力; 熊召; 陈海平; 全旭松; 易聪之

doi:doi:10.3788/AOS201838.1112006

光学学报, 2018, 38 (11): 1112006, 网络出版: 2019-05-09

几何结构标定误差对偏折术的影响下载： 844次

Effect of Geometric Calibration Errors on Deflectometry

论文大纲

李萌阳 ^*袁晓东 ^*曹庭分刘长春张尽力熊召陈海平全旭松易聪之

作者单位

中国工程物理研究院激光聚变研究中心, 四川绵阳 621900

测量光学检测偏折术几何标定误差分析低阶面形 measurement optical testing deflectometry geometric calibration error analysis low-order surface

AI 词云图 AI一句话精读 AI短摘要

注：本部分内容由 AI 自动生成，请您知悉。

摘要

偏折术中的几何结构标定误差是制约低阶面形测量精度的主要因素。从数学模型、理论模拟和实验三个方面分析了几何结构标定误差与低阶面形测量误差之间的关系。给出了表示几何结构标定误差与面形测量误差之间关系的数学模型,并通过模拟和实验对其进行了验证。结果表明,几何结构标定中坐标平移误差会导致倾斜和离焦面形测量误差;被测面分别与相机和显示器之间的距离越大,几何结构标定的误差对低阶面形测量的影响越小。研究结果可以帮助设计合适的偏折术测量系统结构和提高低阶面形测量精度。

Abstract

Geometric calibration errors in deflectometry are the main factors limiting the precision of low-order surface measurement. The relationship between the geometric calibration errors and low-order surface measurement errors is analyzed with mathematic model, theory simulation and experiment. The mathematic model for the relationship between the geometric calibration errors and the surface measurement errors is introduced and verified by simulations and experiments. The results show that the coordinate translational errors in geometric calibration introduce tilt and defocus into the surface measurement results. Besides, the longer distance between the tested mirror and the camera, display, the less effect the geometric calibration errors have on the low-order surface measurement. The results can help designing the system configuration of deflectometry and improving the accuracy of low-order surface measurement.

1 引言

偏折术是一种基于光线偏折来实现面形检测的测量技术。相比于干涉仪测量,偏折术具有动态范围大、灵敏度高、装置灵活、成本低等特点。近年来偏折术在三维面形测量、逆向工程、生物医学、样品检查等领域具有非常广泛的应用,并且发展出了许多商业化的产品^[1-3],其精度通常为微米量级。相位测量偏折术^[4](PMD)是一种针对反射镜或类反射镜面形测量的偏折术,只须使用商用显示器、CCD相机和计算机就可以对被测反射面进行测量。国内外很多学者对相位测量偏折术做了大量的研究^[5-12],其中的一个重要研究是将PMD应用于天文望远镜中大口径非球面镜面的面形检测,如GMT(Giant Magellan Telescope)主镜^[5]、LBT(Large Binocular Telescope)次镜^[6]、DKIST(Daniel K. Inouye Solar Telescope)主镜^[7]、E-ELT(European Extremely Large Telescope)反射镜^[8]和大口径平面镜^[9]等。

PMD的测量结果可以达到与干涉仪相媲美的精度,但通常情况下PMD对直径大于100 mm的被测镜面形的测量精度不小于1 μm。PMD的测量精度依赖于系统标定的精度^[13]。PMD系统的标定包括各部分的几何结构标定、相机成像畸变、显示器的光强非线性和显示器面形变形等^[6]。要获得高精度的PMD测量结果,需要对系统进行复杂的标定和补偿^[6,13-16]。系统的标定精度主要影响被测面形的低阶测量结果,因此PMD在中高频面形的测量上有很高的测量精度,而在低阶面形的测量上则存在着很大的测量误差^[16]。总之,物体的低阶面形测量误差是制约PMD精度提高的主要因素,而低阶面形的测量则依赖于系统几何结构标定的精度。

针对系统各部分几何结构标定不确定问题,本文通过数学模型、理论分析和实验,研究了几何结构标定误差对PMD面形测量精度的影响,目的是为PMD测量结果的分析提供理论依据,为选择合适的测量结构提高PMD低阶面形测量精度提供指导。

2 相位测量偏折术

2.1 基本原理

PMD通过CCD相机对被测面进行成像,获得经被测面面形调制后的来自显示器的编码条纹。PMD实验的光路结构如图1所示,包括产生正弦条纹的测量显示器、CCD相机以及用于控制条纹相移和进行数据采集分析的计算机。显示器上点光源S发出的光线经过被测面M点反射后,通过相机的针孔C点,最后在CCD相机靶面上得到其对应的像。也可以认为CCD面上某个像素点“发出”的光线经过针孔C,接着被被测面上的M点反射到显示器上的S点。被测面上的各个点就是被CCD像素划分所形成的子孔径或“镜像素”。

图 1. 偏折术实验装置的原理图

Fig. 1. Schematic of experimental setup of deflectometry

下载图片查看所有图片

假设一个理想参考平面(称为标定平面)为xOy面,建立如图1所示的世界坐标系。使被测面的切平面与该标定平面重合,则可得到被测面上M点的斜率,即^[5]

\begin{matrix} \{\begin{matrix} w_{x} (x_{M}, y_{M}) = \frac{\frac{x_{M} - x_{S}}{d_{M 2 S}} + \frac{x_{M} - x_{C}}{d_{M 2 C}}}{\frac{z_{M 2 S} - w (x_{M}, y_{M})}{d_{M 2 S}} + \frac{z_{M 2 C} - w (x_{M}, y_{M})}{d_{M 2 C}}} \\ w_{y} (x_{M}, y_{M}) = \frac{\frac{y_{M} - y_{S}}{d_{M 2 S}} + \frac{y_{M} - y_{C}}{d_{M 2 C}}}{\frac{z_{M 2 S} - w (x_{M}, y_{M})}{d_{M 2 S}} + \frac{z_{M 2 C} - w (x_{M}, y_{M})}{d_{M 2 C}}} \end{matrix}, (1) \end{matrix}

式中:下标M2S和M2C分别对应被测面的M点到显示器的S点和被测面的M点到相机C点;d_M₂_S和d_M₂_C是被测面上点到对应显示器像素点和相机孔径的距离;z_M₂_S和z_M₂_C是标定平面到显示器像素点和相机针孔的z方向距离;w(x_M,y_M)是被测面的表面矢高,可将其初始值设置为被测面的标称值。

假设被测镜的面形起伏远小于标定平面与相机或显示器之间的距离,即w(x_M,y_M)≪z_M₂_S或w(x_M,y_M)≪z_M₂_C,则(1)式可写简化为^[5]

\begin{matrix} \{\begin{matrix} w_{x} (x_{M}, y_{M}) = \frac{\frac{x_{M} - x_{S}}{z_{M 2 S}} + \frac{x_{M} - x_{C}}{z_{M 2 C}}}{2} \\ w_{y} (x_{M}, y_{M}) = \frac{\frac{y_{M} - y_{S}}{z_{M 2 S}} + \frac{y_{M} - y_{C}}{z_{M 2 C}}}{2} \end{matrix} 。 (2) \end{matrix}

假设被测面的面形连续可微分,面形斜率连续可导,则面形斜率积分结果与积分路径无关。此时,被测镜的面形可通过分段积分方法得到

\begin{matrix} \begin{matrix} w (x_{M}, y_{M}) = \int_{(0,0)}^{(} w_{x} (x_{M}, y_{M}) d x_{M} + \\ \int_{(}^{xM} w_{y} (x_{M}, y_{M}) d y_{M} 。 (3) \end{matrix} \end{matrix}

2.2 系统的几何结构标定

PMD测量系统中的几何结构标定是指在同一个坐标系下确定相机、显示器屏幕和被测镜的位置以及这三者之间的位置关系^[6-7]。在PMD测量系统中,根据面形斜率计算(1)式和(2)式可知,需要进行测量和计算的参数有相机针孔的位置C(x_C,y_C,z_C)、被测面“镜像素”的位置M(x_M,y_M,z_M)以及对应的显示器像素位置S(x_S,y_S,z_S)。这些位置参数各自都可能存在测量误差。由于针孔可以看作是一个点,因此其坐标误差只存在平移误差,而显示器和被测面上的“像素”除了坐标位置的整体平移误差外还存在由于平面的倾斜旋转(系统的准直误差)、显示器平面的起伏、相机成像畸变等因素所导致的误差。篇幅所限,本文只讨论面形测量结果受PMD系统各组成部分的几何结构标定平移误差的影响。

3 数学模型

设被测面中心位置“镜像素”为世界坐标原点O,几何结构的标定都建立在图1所示的世界坐标系上。基于这一PMD结构模型,对系统的几何结构标定误差所引起的PMD面形检测误差情况进行研究。

3.1 x/y轴平移测量误差

由(1)式和(2)式可以看出,x和y方向的平移误差对面形测量结果的影响是类似的,所以这里只考虑相机针孔、显示器平面和被测面在x方向的坐标测量存在误差Δx_C,Δx_S,Δx_M时的情况。假设含有误差的相机针孔位置测量结果为x'_C=x_C+Δx_C,则此时x方向的斜率为

\begin{matrix} w'_{x} (x_{M}, y_{M}) = w_{x} (x_{M}, y_{M}) - \frac{Δ x_{C}}{2 z_{M 2 C}} 。 (4) \end{matrix}

将(4)式和(2)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为

\begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = w (x_{M}, y_{M}) - \frac{Δ x_{C}}{2 z_{M 2 C}} \cdot x_{M} 。 (5) \end{matrix}

同理,假设含有误差的显示器平面位置测量结果为x'_S=x_S+Δx_S,此时的被测面形为

\begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = w (x_{M}, y_{M}) - \frac{Δ x_{S}}{2 z_{M 2 S}} \cdot x_{M} 。 (6) \end{matrix}

假设含有误差的被测面标定平面位置测量结果为x'_M=x_M+Δx_M,则此时的被测面形为

\begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = w (x_{M}, y_{M}) + \frac{Δ x_{M}}{2} (\frac{1}{z_{M 2 C}} + \frac{1}{z_{M 2 S}}) \cdot x_{M} 。 (7) \end{matrix}

从(5)~(7)式可以看出,系统几何结构在x方向的横向平移测量误差Δx会使被测面面形测量结果附加一个在x方向倾斜的平面面形,该倾斜平面的斜率与Δx线性相关。类似地,当相机针孔、显示器平面和被测面平面在y方向的坐标测量存在横向平移误差Δy_C、Δy_S和Δy_M时,被测面形中将会附加一个在y方向倾斜的平面面形,该倾斜平面的斜率与Δy线性相关。此外,被测面存在平移误差Δx(或Δy),等效于相机针孔和显示器同时存在平移误差-Δx(或-Δy)。在相机针孔、显示器平面和被测面的位置坐标中加入相同的扰动量Δx(或Δy),引入的被测面测量误差之间的比例关系为 $\begin{matrix} |Δ w_{C} ∶ Δ w_{S} ∶ Δ w_{M}| \end{matrix}$ = $\begin{matrix} |z_{M 2 S} ∶ z_{M 2 C} ∶ (z_{M 2 S} + z_{M 2 C})| \end{matrix}$ 。

3.2 z轴平移测量误差

系统的几何结构标定结果中不仅存在沿x/y轴的平移误差,同时存在沿z轴方向的平移误差Δz_C、Δz_S和Δz_M。

3.2.1 相机针孔z坐标位置测量误差

假设相机针孔的z轴坐标位置的标定结果中含有误差Δz_C,使z'_M₂_C=z_M₂_C+Δz_M₂_C,此时斜率测量结果为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} w'_{x} (x_{M}, y_{M}) = w_{x} (x_{M}, y_{M}) - k_{1} (x_{M} - x_{C}) \\ w'_{y} (x_{M}, y_{M}) = w_{y} (x_{M}, y_{M}) - k_{1} (y_{M} - y_{C}) \end{matrix}, (8) \end{matrix}

其中:

\begin{matrix} k_{1} = \frac{1}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 C}}{z_{M 2 C} + Δ z_{M 2 C}}) 。 (9) \end{matrix}

将(8)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测镜的面形为

\begin{matrix} \begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = w (x_{M}, y_{M}) + k_{1} \cdot \\ [x_{C} \cdot x_{M} + y_{C} \cdot y_{M} - 0.5 (x_{M}^{2} + y_{M}^{2})] 。 (10) \end{matrix} \end{matrix}

3.2.2 显示器平面z坐标位置测量误差

假设显示器的z坐标位置标定结果含有误差Δz_S,使z'_M₂_S=z_M₂_S+Δz_M₂_S,则斜率测量结果为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} w'_{x} (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w_{x} (x_{M}, y_{M}) + k_{3} (x_{M} - x_{C}) \\ w'_{y} (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w_{y} (x_{M}, y_{M}) + k_{3} (y_{M} - y_{C}) \end{matrix}, (11) \end{matrix}

其中:

\begin{matrix} \{\begin{matrix} k_{2} = \frac{z_{M 2 S}}{z_{M 2 S} + Δ z_{M 2 S}} \\ k_{3} = \frac{1}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S} + Δ z_{M 2 S}}) \end{matrix} 。 (12) \end{matrix}

将(11)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为

\begin{matrix} \begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w (x_{M}, y_{M}) - k_{3} \cdot \\ [x_{C} \cdot x_{M} + y_{C} \cdot y_{M} - 0.5 (x_{M}^{2} + y_{M}^{2})] 。 (13) \end{matrix} \end{matrix}

由(13)式可知,显示器的z坐标标定误差不仅会给系统引入倾斜和离焦面形误差,还会使被测面面形测量结果相比真实面形存在一定比例的缩放,缩放比例约为k₂≈1- $\begin{matrix} \frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S}} \end{matrix}$ 。同样的几何结构标定精度下,被测面与显示器之间的z坐标距离越大,面形测量结果受到的缩放误差影响越小。

3.2.3 被测面切平面z坐标位置测量误差

假设被测面切平面的z坐标位置测量结果含有误差Δz_M,此时Δz_M₂_S=Δz_M₂_C=-Δz_M,则斜率测量结果为

\begin{matrix} \{\begin{matrix} w'_{x} (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w_{x} (x_{M}, y_{M}) + (k_{3} - k_{1}) (x_{M} - x_{C}) \\ w'_{y} (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w_{y} (x_{M}, y_{M}) + (k_{3} - k_{1}) (y_{M} - y_{C}) \end{matrix} 。 (14) \end{matrix}

将(14)式代入(3)式进行斜率积分,可得被测面的面形为

\begin{matrix} \begin{matrix} w' (x_{M}, y_{M}) = k_{2} \cdot w (x_{M}, y_{M}) - (k_{3} - k_{1}) \cdot \\ [x_{C} \cdot x_{M} + y_{C} \cdot y_{M} - 0.5 (x_{M}^{2} + y_{M}^{2})] 。 (15) \end{matrix} \end{matrix}

由(15)式可知,当被测面z坐标位置测量结果含有误差时,若k₃=k₁(或z_M₂_S=z_M₂_C),即被测面与相机、显示器之间在z方向的距离相等时,被测面面形测量结果中不会含有倾斜和离焦误差。 $\begin{matrix} |z_{M 2 S} - z_{M 2 C}| \end{matrix}$ 越小,被测面与相机、显示器之间在z方向的距离越接近,倾斜与离焦误差越小。

综上所述,系统几何结构存在z方向的纵向平移测量误差Δz时:

1)会导致被测面面形测量结果中附加x轴方向的倾斜、y轴方向的倾斜和离焦面形误差,三者之间的比例关系为 $\begin{matrix} |x_{C} x_{M} ∶ y_{C} y_{M} ∶ 0.5 (x_{M}^{2} + y_{M}^{2})| \end{matrix}$ ,该比例与Δz无关。

2)附加倾斜、离焦面形与Δz正相关,被测面与显示器、相机之间的距离越大,被测面形受z坐标测量误差的影响越小。

3)被测面存在平移误差Δz等效于相机针孔和显示器同时存在平移误差-Δz。

4)附加的在x和y方向的倾斜面形误差与相机针孔位置有关,x_C和y_C越接近0,在x、y方向的倾斜误差越小。

3.3 数学模型结果分析

被测面在x、y、z方向的位置标定误差Δx、Δy、Δz等效于相机针孔和显示器同时在x、y、z方向存在位置标定误差-Δx、-Δy、-Δz。于是可以将被测面的位置误差看作是相机和显示器的位置误差,系统几何结构位置标定的误差参量就可以由9个减少为6个。因此,只需考虑这6个误差参量所引起的面形测量误差情况。根据面形测量结果与系统几何结构标定误差之间的关系式[见(5)、(6)、(10)和(13)式],比较这6个误差参量对倾斜、离焦面形误差的贡献情况。

引入在x方向的倾斜面形误差的各误差参量(Δx_C、Δx_S、Δz_C和Δz_S)分别对应在x方向的倾斜面形误差之比为

\begin{matrix} \begin{matrix} r_{x_tilt} = - \frac{Δ x_{C}}{2 z_{M 2 C}} ∶ - \frac{Δ x_{S}}{2 z_{M 2 S}} ∶ \frac{x_{C}}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 C}}{z_{M 2 C} + Δ z_{M 2 C}}) ∶ \\ - \frac{x_{C}}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S} + Δ z_{M 2 S}}), (16) \end{matrix} \end{matrix}

当Δx_C=Δx_S=Δz_M₂_C=Δz_M₂_S=δ时,

\begin{matrix} r_{x_tilt} = - z_{M 2 S} ∶ - z_{M 2 C} ∶ \frac{z_{M 2 S} x_{C}}{z_{M 2 C} + δ} ∶ - \frac{z_{M 2 S} x_{C}}{z_{M 2 S} + δ}, (17) \end{matrix}

当z_M₂_C≫δ,z_M₂_S≫δ时,

\begin{matrix} r_{x_tilt} \approx z_{M 2 S} ∶ z_{M 2 C} ∶ - \frac{z_{M 2 S} x_{C}}{z_{M 2 C}} ∶ x_{C} 。 (18) \end{matrix}

引入y方向的倾斜面形误差的各误差参量(Δx_C、Δx_S、Δz_C和Δz_S)分别对应在y方向的倾斜面形误差之比为

\begin{matrix} \begin{matrix} r_{y_tilt} = - \frac{Δ y_{C}}{2 z_{M 2 C}} ∶ - \frac{Δ y_{S}}{2 z_{M 2 S}} ∶ \frac{y_{C}}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 C}}{z_{M 2 C} + Δ z_{M 2 C}}) ∶ \\ - \frac{y_{C}}{2 z_{M 2 C}} (\frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S} + Δ z_{M 2 S}}), (19) \end{matrix} \end{matrix}

当Δy_C=Δy_S=Δz_M₂_C=Δz_M₂_S=δ时,

\begin{matrix} r_{y_tilt} = - z_{M 2 S} ∶ - z_{M 2 C} ∶ \frac{z_{M 2 S} y_{C}}{z_{M 2 C} + δ} ∶ - \frac{z_{M 2 S} y_{C}}{z_{M 2 S} + δ}, (20) \end{matrix}

当z_M₂_C≫δ,z_M₂_S≫δ时,

\begin{matrix} r_{y_tilt} \approx z_{M 2 S} ∶ z_{M 2 C} ∶ - \frac{z_{M 2 S} y_{C}}{z_{M 2 C}} ∶ y_{C} 。 (21) \end{matrix}

引入离焦面形误差的各误差参量(Δz_C和Δz_S)分别对应的离焦面形误差之比为

\begin{matrix} \begin{matrix} r_{defocus} \approx z_{M 2 S} ∶ (- z_{M 2 C}), Δ z_{M 2 C} = Δ z_{M 2 S} = \\ δ, z_{M 2 C} ≫ δ, z_{M 2 S} ≫ δ 。 (22) \end{matrix} \end{matrix}

4 模型模拟

假设PMD系统模型的几何结构为:被测反射面高为200 mm,宽为200 mm,被测面中心坐标为(0,0,0)。LCD显示器高为324 mm,宽为432 mm,显示器中心点坐标为(100,0,1500)。相机针孔坐标为C(-137,0,1550)。根据上述参数,在ZEMAX光学软件中建立如图2所示的PMD模型。

图 2. PMD模型的光路图

Fig. 2. Beam path diagram of PMD model

下载图片查看所有图片

对该PMD模型进行光线追迹,得到光线在被测面和显示器面上的分布,并代入斜率计算公式,即(1)式,通过斜率积分算法^[17-19]得到反射镜的重构面形。由于被测面形接近平面,面形峰谷值(PV)约为0.3 μm,被测镜与显示器之间的距离远小于被测面的曲率半径,被测面的测量区域将受限于显示器的尺寸。因此该模型中被测面上还有一部分区域无法被测量到,如图3所示。此时,可以通过拼接方法来进行整个面形的测量,这种情况将在后续文章中进行讨论,这里不再详述。

从图3可以看出,对被测面形进行PMD高精度测量时,面形重建方法所导致的误差面形的PV值和均方根(RMS)值均可以达到小于亚纳米量级的测量精度。因此,面形重构算法引入的面形误差可以忽略。

图 3. PMD模型的重构面形误差

Fig. 3. Reconstructed surface errors of PMD model

下载图片查看所有图片

4.1 面形误差

分别在相机针孔、显示器平面和被测面的x、y、z坐标中加入误差扰动量Δx、Δy、Δz,得到对应9类含有误差的被测面形。计算各种坐标位置误差对应的面形误差,总结误差面形的PV值随Δx、Δy、Δz变化的情况,得到如图4所示的结果。

图 4. PMD模型中被测面形误差与几何结构误差的关系。误差面形PV值随(a) Δx, (b) Δy和(c) Δz的变化

Fig. 4. Relationship between tested surface errors and geometric calibration errors in PMD model. PV values of error surfaces change with (a) Δx, (b) Δy and (c) Δz

下载图片查看所有图片

从图4可以看出,PMD模型中坐标位置的平移误差和所对应的被测面的误差值可以用直线进行拟合,两者呈正线性相关,该结果与第2部分的数学模型分析吻合。此外,从图4(a)可得,对于相机、显示器和被测面的位置标定,同样的坐标扰动量Δx所导致的被测面误差之间的比例值为 $\begin{matrix} |Δ w_{C} ∶ Δ w_{S} ∶ Δ w_{M}| \end{matrix}$ =1∶1.0333∶2.0332。图4(b)中相同扰动量Δy所导致的被测面误差之间的比例值为 $\begin{matrix} |Δ w_{C} ∶ Δ w_{S} ∶ Δ w_{M}| \end{matrix}$ =1∶1.0334∶2.0326,上述两组比例关系对应的理论值为1∶1.0333∶2.0333。图4(c)中相同扰动量Δz所导致的被测面误差之间的比例值为 $\begin{matrix} |Δ w_{C} ∶ Δ w_{S} ∶ Δ w_{M}| \end{matrix}$ =1∶1.0334∶0.0334,根据第2部分的数学模型分析,该比例关系对应的理论值约为 $\begin{matrix} |z_{M 2 S} ∶ z_{M 2 C} ∶ (z_{M 2 C} - z_{M 2 S})| \end{matrix}$ =1∶1.0333∶0.0333。显然,PMD模型中面形的测量误差与其理论值是相符的。

4.2 倾斜面形误差

由于PMD模型中的被测面是方形的,因此使用方域内标准正交的Z-square多项式^[20]对测量的面形误差进行拟合,得到对应的各平衡像差项的拟合系数。

对比不同误差参量对应的倾斜面形误差的像差系数,总结在x和y方向的倾斜面形误差随Δx、Δy和Δz变化的情况,得到如图5所示的结果。

从图5(a)可以看出,在x方向的倾斜面形的像差系数与参量误差Δx_C、Δx_S、Δx_M、Δz_C、Δz_S、Δz_M之间的关系可以用直线进行表示。在模拟实验中,这些直线斜率的比值为R₁=18.46∶19.08∶-37.54∶1.627∶-1.681∶0.054,这一比值反映了同样的坐标Δx_C、Δx_S、Δx_M、Δz_C、Δz_S、Δz_M所对应的x方向的倾斜面形误差之比。在对应的数学模型中,这一比值为R₂=1500∶1550∶-3050∶132.58∶-137∶4.42,通过计算可得R₁≈R₂。从图5(b)可以看出,y方向的倾斜面形的像差系数与参量误差Δy_C、Δy_S、Δy_M、Δz_C、Δz_S、Δz_M之间的关系同样可以用直线进行拟合。在模拟实验中,这些直线斜率的比值为R₁=18.61∶19.23∶-37.83∶5.76×10^-⁸∶9.79×10^-⁶∶-9.85×10^-⁶。在对应的数学模型中,这一比值为R₂=1500∶1550∶-3050∶0∶0∶0,通过计算同样可得R₁≈R₂。因此图5说明模拟实验的结果完全符合第3部分中关于几何结构参量误差与斜率面形误差之间关系的数学模型。

图 5. PMD模型中倾斜面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) x方向的; (b) y方向

Fig. 5. Relationship between tilt surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) In x direction; (b) in y direction

下载图片查看所有图片

4.3 离焦面形误差

对比不同误差参量对应的离焦面形误差的像差系数,总结离焦面形误差随Δz变化的情况,得到如图6所示的结果。

图 6. PMD模型中离焦面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

Fig. 6. Relationship between defocus surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

下载图片查看所有图片

从图6中可以看出,离焦面形的像差系数与参量误差Δz_C、Δz_S、Δz_M之间的关系可以用直线进行拟合,这是因为z_M₂_C≫Δz_M₂_C,z_M₂_S≫Δz_M₂_S使得 $\begin{matrix} \frac{Δ z_{M 2 C}}{z_{M 2 C} + Δ z_{M 2 C}} \end{matrix}$ ≈ $\begin{matrix} \frac{Δ z_{M 2 C}}{z_{M 2 C}} \end{matrix}$ , $\begin{matrix} \frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S} + Δ z_{M 2 S}} \end{matrix}$ ≈ $\begin{matrix} \frac{Δ z_{M 2 S}}{z_{M 2 S}} \end{matrix}$ 。在模拟实验中,这些直线斜率的比值为R₁=0.4303∶-0.4450∶0.0144,在对应的数学模型中,这些直线斜率的比值为R₂=1500∶-1550∶50,通过计算可得R₁≈R₂。图6说明模拟实验的结果完全符合第3部分中关于几何结构参量误差与离焦面形误差之间关系的数学模型。

5 实验验证

搭建PMD实验光路,对上述理论结果进行验证。PMD实验系统的几何结构测量结果为:相机针孔的坐标位置为(-134.426 mm,36.041 mm,-1765.7 mm),显示器中心的坐标位置为(137.886 mm,11.386 mm,-1810.8 mm),被测面分别与相机和显示器之间的z坐标距离为1765.7 mm和1810.8 mm。

选用一块高精度的反射镜作为被测镜,其干涉仪面形测量结果所对应的前7阶Zernike系数如图7(a)所示,去倾斜后的面形如图7(b)所示,因此可以将其看作理想平面。反射镜的有效测量区域的直径为112 mm,其PMD系统的面形测量结果所对应的前7阶Zernike系数如图8所示。

图 7. 被测面的干涉仪测量结果。(a) Zerrnike系数; (b)波前像差

Fig. 7. Measured results of the tested surface using interferometer. (a) Zernike coefficients; (b) wavefront aberration

下载图片查看所有图片

图 8. 被测面的PMD测量结果

Fig. 8. Measured results of the tested surface using PMD system

下载图片查看所有图片

从图7和图8中可以看出,PMD测量结果中低阶面形误差主要来自面形倾斜和离焦(第2、3和4项),它们贡献了微米量级的测量误差。

在实际PMD系统的几何结构测量中实验者由于无法获得各参数的真实值,因此假设第一次的测量结果为“真实值”,然后依次引入一定的测量误差,研究各次测量得到的面形结果随着参数测量误差的变化情况。下面以离焦误差为例,每次使被测面的位置沿着远离相机的z轴的负方向移动1 mm,共移动10次,进行11次PMD面形测量。分别计算每次去除倾斜误差后的面形测量结果,如图9(a)所示,对应的离焦像差系数如图9(b)所示。

图 9. 面形测量结果随被测面z坐标误差的变化情况。 (a) 测量面形的PV值;(b) 测量面形的离焦系数

Fig. 9. Measured surfaces change with z-coordinate translation of mirror. (a) PV of tested surface; (b) defocus coefficient of tested surface

下载图片查看所有图片

由图9可以看出,面形测量的误差与被测面的z轴坐标测量误差线性相关,对应的Zernike离焦系数也与z轴坐标测量误差呈线性相关。显然,上述实验结果与第3部分和第4部分的结论相吻合。

6 结论

PMD系统的几何结构标定精度是制约低阶面形测量精度的重要因素,本文推导了几何结构标定精度与倾斜、离焦面形误差之间的数学关系式,并通过模拟实验和实验验证了所推导数学关系式的正确性。

系统几何结构的位置标定的横向平移误差会导致被测面面形测量结果中附加一个倾斜平面面形,该倾斜平面的斜率与平移误差线性相关。系统几何结构的位置标定存在纵向平移误差时,被测面形的测量结果除了可能会被引入倾斜面形误差外,还可能会被引入离焦面形误差。在PMD系统中的某一个结构(相机、显示器或被测面)的位置标定中,相同的横向和纵向平移误差给PMD系统引入的倾斜面形误差之比为针孔与被测面在z方向距离与针孔的横向坐标之比。例如,当z_M₂_C=10x_C时,若显示器的位置测量存在相同的横向和纵向平移误差(Δx_S=Δz_S),则横向平移误差在x方向引入的倾斜面形误差是纵向平移误差所引入的在x方向倾斜面形误差的10倍。显然,若不考虑面形的倾斜和离焦情况,系统几何结构位置标定的精度要求是可以降低的。

根据PMD系统几何结构标定平移误差与面形测量误差之间的数学关系式可知,在同样的几何结构标定精度下,被测面分别与相机、显示器之间的距离越接近,两个距离的值越大,相机针孔坐标位置则越接近(0,0),被测面误差受几何结构标定平移误差的影响越小。此外,还可以根据上述数学关系式对PMD系统的面形测量误差进行估计甚至是扣除(有待进一步研究),从而减小低阶面形测量的误差,提高PMD系统测量面形的精度。

参考文献

[1] Rose P, Surrel Y, Becker J M. Specific design requirements for a reliable slope and curvature measurement standard[J]. Measurement Science and Technology, 2009, 20(9): 095110.

[2] Bothe T, Li W S, Kopylow C, et al. High-resolution 3D shape measurement on specular surfaces by fringe reflection[J]. Proceedings of SPIE, 2004, 5457: 411-422.

[3] Molina J, Solanes J E, Arnal L, et al. On the detection of defects on specular car body surfaces[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2017, 48: 263-278.

[4] Knauer M C, Kaminski J, Häusler G. Phase measuring deflectometry: a new approach to measure specular free-form surfaces[J]. Proceedings of SPIE, 2004, 5457: 366-377.

[5] Su P, Parks R E, Wang L R, et al. Software configurable optical test system: a computerized reverse Hartmann test[J]. Applied Optics, 2010, 49(23): 4404-4412.

[6] Su P, Khreishi M, Su T Q, et al. Aspheric and freeform surfaces metrology with software configurable optical test system: a computerized reverse Hartmann test[J]. Optical Engineering, 2014, 53(3): 031305.

[7] Huang R, Su P, Burge J H. Deflectometry measurement of Daniel K. Inouye solar telescope primary mirror[J]. Proceedings of SPIE, 2015, 9575: 957515.

[8] Sironi G, Canestrari R, Tayabaly K, et al. Evaluation of novel approach to deflectometry for high accuracy optics[J]. Proceedings of SPIE, 2016, 9912: 991213.

[9] 戚二辉. 大口径光学平面镜低阶面形检测技术研究[D]. 长春: 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所, 2015.

Qi EH. Study on low order aberrations' testing technology for large optical flat mirror[D]. Changchun: Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics,Chinese Academy of Sciences, 2015.

[10] 赵文川, 范斌, 伍凡, 等. 基于PMD的反射镜面检测实验分析[J]. 光学学报, 2013, 33(1): 0112002.

Zhao W C, Fan B, Wu F, et al. Experimental analysis of reflector test based on phase measuring deflectometry[J]. Acta Optica Sinica, 2013, 33(1): 0112002.

[11] 袁婷, 张峰, 陶小平, 等. 基于相位测量偏折术的反射镜三维面形测量[J]. 光学学报, 2016, 36(2): 0212004.

Yuan T, Zhang F, Tao X P, et al. Three-dimensional shape measuring for specular surface based on phase measuring deflectometry[J]. Acta Optica Sinica, 2016, 36(2): 0212004.

[12] 李晨, 张旭, 屠大维, 等. 单相机监控偏折术测量方法[J]. 光学学报, 2017, 37(10): 1012007.

Li C, Zhang X, Tu D W, et al. Deflectometry measurement method of single-camera monitoring[J]. Acta Optica Sinica, 2017, 37(10): 1012007.

[13] Faber C, Olesch E, Krobot R, et al. Deflectometry challenges interferometry-the competition gets tougher![J]. Proceedings of SPIE, 2012, 8493: 84930R.

[14] Häusler G, Faber C, Olesch E, et al. Deflectometry vs Interferometery[J]. Proceedings of SPIE, 2013, 8788: 87881C.

[15] Zhao W R, Huang R, Su P, et al. Aligning and testing non-null optical system with deflectometry[J]. Proceedings of SPIE, 2014, 9195: 91950F.

[16] Su P, Khreishi M, Huang R, et al. Precision aspheric optics testing with SCOTS: a deflectometry approach[J]. Proceedings of SPIE, 2013, 8788: 87881E.

[17] 李萌阳, 李大海, 赵霁文, 等. 基于方形域内标准正交矢量多项式的波前重建[J]. 光学学报, 2014, 34(7): 0712007.

Li M Y, Li D H, Zhao J W, et al. Wavefront reconstruction based on standard orthonormal vector polynomials in a square area[J]. Acta Optica Sinica, 2014, 34(7): 0712007.

[18] Li M Y, Li D H, Zhang C, et al. Modal wavefront reconstruction from slope measurements for rectangular apertures[J]. Journal of the Optical Society of America A, 2015, 32(11): 1916-1921.

[19] Li M Y, Li D H, Jin C Y, et al. Improved zonal integration method for high accurate surface reconstruction in quantitative deflectometry[J]. Applied Optics, 2017, 56(13): F144-F151.

[20] 李萌阳, 李大海, 王琼华, 等. 用方形域内的标准正交多项式重构波前[J]. 中国激光, 2012, 39(11): 1108011.

Li M Y, Li D H, Wang Q H, et al. Wavefront reconstruction with orthonormal polynomials in a square area[J]. Chinese Journal of Lasers, 2012, 39(11): 1108011.

李萌阳, 袁晓东, 曹庭分, 刘长春, 张尽力, 熊召, 陈海平, 全旭松, 易聪之. 几何结构标定误差对偏折术的影响[J]. 光学学报, 2018, 38(11): 1112006. Mengyang Li, Xiaodong Yuan, Tingfen Cao, Changchun Liu, Jinli Zhang, Zhao Xiong, Haiping Chen, Xusong Quan, Congzhi Yi. Effect of Geometric Calibration Errors on Deflectometry[J]. Acta Optica Sinica, 2018, 38(11): 1112006.

几何结构标定误差对偏折术的影响下载： 844次

1 引言

2 相位测量偏折术

2.1 基本原理

图 1. 偏折术实验装置的原理图

Fig. 1. Schematic of experimental setup of deflectometry

2.2 系统的几何结构标定

3 数学模型

3.1 x/y轴平移测量误差

3.2 z轴平移测量误差

3.3 数学模型结果分析

4 模型模拟

图 2. PMD模型的光路图

Fig. 2. Beam path diagram of PMD model

图 3. PMD模型的重构面形误差

Fig. 3. Reconstructed surface errors of PMD model

4.1 面形误差

图 4. PMD模型中被测面形误差与几何结构误差的关系。误差面形PV值随(a) Δx, (b) Δy和(c) Δz的变化

Fig. 4. Relationship between tested surface errors and geometric calibration errors in PMD model. PV values of error surfaces change with (a) Δx, (b) Δy and (c) Δz

4.2 倾斜面形误差

图 5. PMD模型中倾斜面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) x方向的; (b) y方向

Fig. 5. Relationship between tilt surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) In x direction; (b) in y direction

4.3 离焦面形误差

图 6. PMD模型中离焦面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

Fig. 6. Relationship between defocus surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

5 实验验证

图 7. 被测面的干涉仪测量结果。(a) Zerrnike系数; (b)波前像差

Fig. 7. Measured results of the tested surface using interferometer. (a) Zernike coefficients; (b) wavefront aberration

图 8. 被测面的PMD测量结果

Fig. 8. Measured results of the tested surface using PMD system

图 9. 面形测量结果随被测面z坐标误差的变化情况。 (a) 测量面形的PV值;(b) 测量面形的离焦系数

Fig. 9. Measured surfaces change with z-coordinate translation of mirror. (a) PV of tested surface; (b) defocus coefficient of tested surface

6 结论

Article Outline

关于本站 Cookie 的使用提示

全站搜索

几何结构标定误差对偏折术的影响 下载： 844次

1 引言

2 相位测量偏折术

2.1 基本原理

图 1. 偏折术实验装置的原理图

Fig. 1. Schematic of experimental setup of deflectometry

2.2 系统的几何结构标定

3 数学模型

3.1 x/y轴平移测量误差

3.2 z轴平移测量误差

3.3 数学模型结果分析

4 模型模拟

图 2. PMD模型的光路图

Fig. 2. Beam path diagram of PMD model

图 3. PMD模型的重构面形误差

Fig. 3. Reconstructed surface errors of PMD model

4.1 面形误差

图 4. PMD模型中被测面形误差与几何结构误差的关系。误差面形PV值随(a) Δx, (b) Δy和(c) Δz的变化

Fig. 4. Relationship between tested surface errors and geometric calibration errors in PMD model. PV values of error surfaces change with (a) Δx, (b) Δy and (c) Δz

4.2 倾斜面形误差

图 5. PMD模型中倾斜面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) x方向的; (b) y方向

Fig. 5. Relationship between tilt surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) In x direction; (b) in y direction

4.3 离焦面形误差

图 6. PMD模型中离焦面形测量误差与几何结构标定误差的关系。(a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

Fig. 6. Relationship between defocus surface errors and geometric calibration errors in PMD model. (a) ΔzC(ΔzM2C),ΔzS(ΔzM2S),ΔzM; (b) ΔzM

5 实验验证

图 7. 被测面的干涉仪测量结果。(a) Zerrnike系数; (b)波前像差

Fig. 7. Measured results of the tested surface using interferometer. (a) Zernike coefficients; (b) wavefront aberration

图 8. 被测面的PMD测量结果

Fig. 8. Measured results of the tested surface using PMD system

图 9. 面形测量结果随被测面z坐标误差的变化情况。 (a) 测量面形的PV值;(b) 测量面形的离焦系数

Fig. 9. Measured surfaces change with z-coordinate translation of mirror. (a) PV of tested surface; (b) defocus coefficient of tested surface

6 结论

Article Outline

相关论文

相关资讯

关于本站 Cookie 的使用提示

全站搜索

几何结构标定误差对偏折术的影响下载： 844次