(2+1)维色散长波方程的新孤子解及其演化

杨娟; 冯庆江

doi:doi:10.3788/LOP55.011901

激光与光电子学进展, 2018, 55 (1): 011901, 网络出版: 2018-09-10

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New Soliton Solutions and Soliton Evolvements for (2+1)-Dimensional Dispersive Long Wave Equation

论文大纲

杨娟 ^*冯庆江

作者单位

凯里学院理学院, 贵州凯里 556000

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摘要

借助Mathematica数学软件进行符号计算,先将由G''/G展开法改进得到的F/G展开法进行拓展,然后结合变量分离法得到一系列高维非线性发展方程的精确解。以(2+1)维色散长波方程为例,利用F/G展开法构造精确解的方法是将原来的行波变换扩展为任意函数的变换,行波变换则成为任意函数变换的特例,从而得到(2+1)维色散长波方程的非行波解。通过选择适当的函数,分别构造出(2+1)维色散长波方程的亮暗dromion解(局域解)和周期孤立波解。研究了设定参数下亮暗dromion解随时间的传播情况,以及周期孤立波解随时间的演化情况。

Abstract

With the help of Mathematica symbol calculation software, we extend the F/G expansion method improved by the G''/G expansion method and obtain exact solutions of a series of high dimensional nonlinear evolution equations by combining the variable separation method. Taking a (2+1)-dimensional dispersive long wave equation as an example, constructing the exact solutions by F/G expansion method is to extend the original traveling wave transform to any function transform, in which the traveling wave transform is only a special case of this any function transform. Then the non-traveling wave solutions of the (2+1)-dimensional dispersive long wave equation are obtained. By choosing the appropriate function, we can construct (2+1)-dimensional bright dromion solution and periodic solitary wave solution of the dispersion long wave equation. Then we study the propagation of the bright dromion solution with time and the evolution of the periodic solitary wave solution over time further.

1 引言

孤立子理论是非线性科学中重要的研究方向之一,在数学、物理学、计算机、生物、天文学等自然科学中的许多领域有着广泛的应用,如生物系统、气体动力学、流体力学、凝聚态物理、等离子体物理、非线性光学、光纤通信、海上冲击波、涡旋星系的密度波等领域。在孤立子理论的研究过程中,出现了许多求解非线性发展方程的好方法,比如Painleve分析法^[1]、三波测试方法^[2]、同宿测试法^[3]、双线性导数法^[4]、简单方程法^[5]、试探函数法^[6]、tanh-coth展开法^[7]、齐次平衡法^[8]、行波约化法^[9]、Adomian分解法^[10]、Jacobi椭圆函数法^[11]、F-函数扩展法^[12]、分步傅里叶法^[13]、相似变换法^[14]、变分法^[15-17]、拟解法^[18]、分离变量法^[19]等,使用这些方法均可成功地求解不同类型的非线性发展方程。

洪宝剑等^[20]在研究水波运动的过程中,提出了著名的非线性色散长波方程

\begin{matrix} \{\begin{matrix} u_{ty} + v_{xx} + {(u^{2})}_{xy} / 2 = 0 \\ v_{t} + {(uv + u + β^{2} u_{xy})}_{x} = 0 \end{matrix}, (1) \end{matrix}

式中u(x,y,t)、v(x,y,t)为所示变量的物理场,x、y代表空间坐标,t代表时间,β为参数,该方程是描述水波通过等深、狭长理想运动水道的重要方程。当x=y且β²=1时约化为经典的Boussinesq方程

\begin{matrix} u_{ty} + v_{xx} + {(u^{2})}_{xy} / 2 = 0, (2) \end{matrix}

当β²=1时约化为通常的(2+1)维非线性色散长波方程

\begin{matrix} v_{t} + u_{x} + {(uv)}_{x} + u_{xxy} = 0, (3) \end{matrix}

这是Boiti等^[21]在研究弱Lax对的相容条件时得到的。经过几十年的不断努力,众多学者获得了(2+1)维非线性色散长波方程^[22-27]不同类型的孤子解。本文利用拓展的F/G展开法^[28]求解(2+1)维非线性色散长波方程,获得新的精确解,并研究了孤子解的结构和性质。

2 (2+1)维色散长波方程的精确解

对于给定的一个非线性物理模型

\begin{matrix} P (u, u_{t}, u_{x}, u_{y}, u_{tt}, u_{xx}, u_{yy}, u_{tx}, u_{ty}, u_{xy}, \dots) = 0, (4) \end{matrix}

设它的解为

\begin{matrix} u (ξ) = a_{0} + \overset{m}{\sum_{i = 1}} a_{i} {(F / G)}^{i}, (5) \end{matrix}

式中G=G(ξ),F=F(ξ)满足一阶线性常系数微分方程

\begin{matrix} F' (ξ) = λG (ξ), G' (ξ) = μF (ξ), (6) \end{matrix}

式中F'(ξ)= $\begin{matrix} \frac{dF (ξ)}{dξ} \end{matrix}$ ,G'(ξ)= $\begin{matrix} \frac{dG (ξ)}{dξ} \end{matrix}$ ,ξ=x+y-Vt为行波变换,V为常数。然后将假设解(5)式代入(4)式,应用齐次平衡法可以得到(5)式的行波解。根据(6)式可以得到

\begin{matrix} \begin{matrix} \{\begin{matrix} F (ξ) = C_{1} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} (\sqrt[]{λ} / \sqrt[]{μ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ), \\ G (ξ) = C_{1} (\sqrt[]{μ} / \sqrt[]{λ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ), \end{matrix} λ > 0, μ > 0, (7) \\ \{\begin{matrix} F (ξ) = C_{1} \cos h (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{- μ} ξ) - C_{2} (\sqrt[]{- λ} / \sqrt[]{- μ}) \sin h (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{- μ} ξ), \\ G (ξ) = - C_{1} (\sqrt[]{- μ} / \sqrt[]{- λ}) \sin h (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{- μ} ξ) + C_{2} \cos h (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{- μ} ξ), \end{matrix} λ < 0, μ < 0, (8) \\ \{\begin{matrix} F (ξ) = C_{1} \cos (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{- μ} ξ) + C_{2} (\sqrt[]{λ} / \sqrt[]{- μ}) \sin (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{- μ} ξ), \\ G (ξ) = - C_{1} (\sqrt[]{- μ} / \sqrt[]{λ}) \sin (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{- μ} ξ) + C_{2} \cos (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{- μ} ξ), \end{matrix} λ > 0, μ < 0, (9) \\ \{\begin{matrix} F (ξ) = C_{1} \cos (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{μ} ξ) - C_{2} (\sqrt[]{- λ} / \sqrt[]{μ}) \sin (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{μ} ξ), \\ G (ξ) = C_{1} (\sqrt[]{μ} / \sqrt[]{- λ}) \sin (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} \cos (\sqrt[]{- λ} \sqrt[]{μ} ξ), \end{matrix} λ < 0, μ > 0 。 (10) \end{matrix} \end{matrix}

利用F/G展开法构造高维非线性方程的精确解的方法是:将原来的行波变换ξ=x+y-Vt扩展为任意函数ξ=ξ(x,y,t)变换,而行波变换ξ=x+y-Vt仅为这个任意函数的特例。那么,当ξ为任意函数时得到的解称为非行波解。

下面求(2+1)维色散长波方程的非行波解。根据齐次平衡原则,可以假设

\begin{matrix} \begin{matrix} u = a_{0} (x, y, t) + a_{1} (x, y, t) F (ξ) / G (ξ), (11) \\ v = b_{0} (x, y, t) + b_{1} (x, y, t) F (ξ) / G (ξ) + b_{2} (x, y, t) F^{2} (ξ) / G^{2} (ξ), (12) \end{matrix} \end{matrix}

式中ξ=f(x,t)+g(y)。将(11)、(12)式代入(2)、(3)式,并按F/G的同次幂合并,提取 $\begin{matrix} {(\frac{F}{G})}^{i} \end{matrix}$ (i=1,2,…)前的系数,令其等于零,得到一系列的方程。由这些方程可以求得

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{0} = - (f_{t} + f_{xx}) / f_{x}, a_{1} = 2 μ f_{x}, b_{0} = - 1 + 2 λμ f_{x} g_{y}, b_{1} = 0, b_{2} = - 2 μ^{2} f_{x} g_{y}, (13) \\ a_{0} = - (f_{t} - f_{xx}) / f_{x}, a_{1} = - 2 μ f_{x}, b_{0} = - 1 + 2 λμ f_{x} g_{y}, b_{1} = 0, b_{2} = - 2 μ^{2} f_{x} g_{y}, (14) \end{matrix} \end{matrix}

将(13)式代入(11)、(12)式,根据(7)式,就可以得到(2+1)维色散长波方程的孤立波解

\begin{matrix} \begin{matrix} u = (- \frac{f_{t} + f_{xx}}{f_{x}}) + 2 μ f_{x} [\frac{C_{1} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} (\sqrt[]{λ} / \sqrt[]{μ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ)}{C_{1} (\sqrt[]{μ} / \sqrt[]{λ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ)}], (15) \\ v = (- 1 + 2 λμ f_{x} g_{y}) - 2 μ^{2} f_{x} g_{y} {[\frac{C_{1} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} (\sqrt[]{λ} / \sqrt[]{μ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ)}{C_{1} (\sqrt[]{μ} / \sqrt[]{λ}) \sin h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ) + C_{2} \cos h (\sqrt[]{λ} \sqrt[]{μ} ξ)}]}^{2}, (16) \end{matrix} \end{matrix}

式中ξ=f(x,t)+g(y)。对于其他几组解,这里不再分别给出其具体形式。

3 孤子随时间的演化

由于(15)、(16)式都含有任意函数f(x,t)和g(y),解的类型变得更加丰富,数量增多。以(16)式为例,研究(2+1)维色散长波方程的孤子结构。

3.1 传播孤子

在(16)式中,如果取

\begin{matrix} \{\begin{matrix} f (x, t) = 1 + \sec h^{2} (x + ct) \\ g (y) = \tan h (ky) \end{matrix}, (17) \end{matrix}

当参数分别为λ=1,μ=1,C₁=1,C₂=1,k=1,c=1,时间t为-1 ,0,1 s时,可以得到如图1所示的亮暗dromion孤波解。

根据图1可以清晰地看到,随时间t的增加,亮暗dromion孤子的传播速度v、波幅和波形都保持不变,孤子沿x轴负方向移动。

3.2 湮灭孤子

在(16)式中,如果取

\begin{matrix} \{\begin{matrix} f (x, t) = \sec h (x^{2} + t) \\ g (y) = \cos (ky) \end{matrix}, (18) \end{matrix}

当参数分别为λ=1,μ=1,C₁=1,C₂=1,k=1,时间t为-1.5,0,0.5,1.0,1.5,3.0 s时得到如图2所示的周期孤立波解。

从图2可以看到,由于他们都是亮暗dromion周期孤子,亮孤子和暗孤子的波幅、大小和形状完全一样,随着时间t的不断增加,两列波叠加后波幅逐渐变为零,最后两个孤子消失。

图 1. (17)式代入(16)式得到的传播孤子。(a) t=-1 s;(b) t=0 s;(c) t=1 s

Fig. 1. Propagation soliton obtained from Eq.(16) based on Eq.(17). (a) t=-1 s; (b) t=0 s; (c) t=1 s

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图 2. (17)式代入(15)式得到的湮灭孤子。(a) t=-1.5 s;(b) t=0 s;(c) t=0.5 s;(d) t=1.0 s;(e) t=1.5 s;(f) t=3.0 s

Fig. 2. Annihilation soliton obtained from Eq.(15) based on Eq.(17). (a) t=-1.5 s; (b) t=0 s; (c) t=0.5 s; (d) t=1.0 s; (e) t=1.5 s; (f) t=3.0 s

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4 结论

利用拓展的F/G展开法和变量分离法,得到了(2+1)维色散长波方程的精确解,这里与文献[ 22-27]中得到的精确解有所不同。通过选择两个适当的函数,构造出(2+1)维色散长波方程的亮暗dromion解和周期孤立波解,研究了亮暗dromion孤子在水平方向随时间的传播情况,以及周期孤子在垂直方向随时间的湮灭情况。实践证明,拓展的F/G展开法可简便、有效地求解非线性方程,但用于求解其他高维非线性物理模型还有待于进一步研究。

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1 引言

2 (2+1)维色散长波方程的精确解

3 孤子随时间的演化

3.1 传播孤子

3.2 湮灭孤子

图 1. (17)式代入(16)式得到的传播孤子。(a) t=-1 s;(b) t=0 s;(c) t=1 s

Fig. 1. Propagation soliton obtained from Eq.(16) based on Eq.(17). (a) t=-1 s; (b) t=0 s; (c) t=1 s

图 2. (17)式代入(15)式得到的湮灭孤子。(a) t=-1.5 s;(b) t=0 s;(c) t=0.5 s;(d) t=1.0 s;(e) t=1.5 s;(f) t=3.0 s

Fig. 2. Annihilation soliton obtained from Eq.(15) based on Eq.(17). (a) t=-1.5 s; (b) t=0 s; (c) t=0.5 s; (d) t=1.0 s; (e) t=1.5 s; (f) t=3.0 s

4 结论

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1 引言

2 (2+1)维色散长波方程的精确解

3 孤子随时间的演化

3.1 传播孤子

3.2 湮灭孤子

图 1. (17)式代入(16)式得到的传播孤子。(a) t=-1 s;(b) t=0 s;(c) t=1 s

Fig. 1. Propagation soliton obtained from Eq.(16) based on Eq.(17). (a) t=-1 s; (b) t=0 s; (c) t=1 s

图 2. (17)式代入(15)式得到的湮灭孤子。(a) t=-1.5 s;(b) t=0 s;(c) t=0.5 s;(d) t=1.0 s;(e) t=1.5 s;(f) t=3.0 s

Fig. 2. Annihilation soliton obtained from Eq.(15) based on Eq.(17). (a) t=-1.5 s; (b) t=0 s; (c) t=0.5 s; (d) t=1.0 s; (e) t=1.5 s; (f) t=3.0 s

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