实现给定能量比离散光斑阵列的自由曲面分束器

司佳; 冯泽心; 程德文; 王涌天

doi:doi:10.3788/AOS202040.1722004

光学学报, 2020, 40 (17): 1722004, 网络出版: 2020-08-26

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Freeform Surface Beam Splitter for Discrete Spot Array with Prescribed Energy Proportion

论文大纲

司佳冯泽心 ^*程德文王涌天

作者单位

北京理工大学光电学院北京市混合现实与新型显示工程技术研究中心, 北京 100081

光学设计分束器自由曲面光学非成像光学 optical design beam splitter freeform surface optics non-imaging optics

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摘要

采用自由曲面透镜作为分束器以生成具有任意能量比的离散光斑阵列。根据能量守恒定律,将入射光束划分为一系列与光斑阵列对应的子区域。对于每个子区域,采用分离变量法计算子区域与相应光斑之间的光线映射关系,并采用最小二乘法构造遵循该映射关系的自由曲面。提供两个设计实例以检验自由曲面分束器的可行性:第一个设计可生成具有相同能量比例的高斯光斑阵列,第二个设计可产生具有预设不均匀能量比例的矩形平顶光斑阵列。仿真结果表明,考虑菲涅耳损耗后,两个设计实例的光输出比均高于89%。

Abstract

Freeform lenses are used as freeform surface beam splitters to generate discrete spot arrays with arbitrary energy proportions. According to the law of conservation of energy, the incident beam is divided into a series of subregions corresponding to the spot array. For each subarea, variable separation is used to acquire the ray map between the input beam within the subarea and the corresponding spot. Further, a least squares method is used to construct the freeform surface following the ray map. Two design examples are provided to demonstrate the capabilities of freeform beam splitters: one could generate a Gaussian spot array with an equal energy proportion and the other could generate a square top-hat spot array with a predefined non-uniform energy proportion. Both freeform beam splitters exhibit light output ratios of over 89% considering Fresnel losses.

1 引言

自由曲面是指具有非旋转和平移对称性的表面,其可以提供足够的自由度以达到对光线的精确控制。随着金刚石超精密车削加工以及模压注塑技术的快速发展,自由曲面光学元件的批量加工成本可以控制在较低的范围内。本文将探索如何应用自由曲面光学元件来实现光束分束的功能,即将入射光束转化为具有给定能量比的离散光斑阵列。目前已经发表了许多通过自由曲面光学设计来实现给定辐照度分布的文章^[12],但只有少数工作可以处理多个光束图案的输出。Wang等^[13]将一个字符“E”划分为四个区域,通过一个由四部分组成的自由曲面透镜和一个LED光源来实现对该字符区域的均匀照明。Wu等^[14]在光刻系统中使用了自由曲面透镜阵列,将均匀的圆形光束转换为光阑上两个或四个独立的离轴照明图案。Ma等^[15]设计了一种可生成正弦条纹图案的条状自由曲面透镜阵列,每个条状透镜可用于产生一个周期的条纹结构。这三项工作均采用光线映射法来设计自由曲面,即首先计算从光源到目标辐照度分布的光线映射,然后根据映射关系计算用来构建自由曲面的数据点。此外,Zhang等^[16]采用了蒙日-安培(MA)方法构建连续自由曲面透镜,其可以在光刻系统中产生具有轴对称的两个或四个光斑。

Maksimovic^[17]将自由曲面透镜用作激光分束器。该项工作中,首先使用自由曲面分束器对发散的椭圆高斯光束进行准直,然后将准直后的光束分成多个子光束并聚焦于目标平面。该设计是通过多参数优化方法来实现的,当用于产生具有定制光束轮廓的任意比例光斑图案时,效率变低。

受到文献[ 13-17]的启发,本文提出一种新型的自由曲面分束透镜,其是由平面和一个不连续的自由曲面组成,可以将准直的入射光束转换为多个子光束,并在目标平面上形成具有给定光束轮廓和任意能量比例的光斑点阵。基于光线追迹的仿真结果表明,提出的设计方法可以在保持较高的光输出比的同时实现大角度的分束。

2 设计方法

图1为自由曲面分束器的系统设计示意图。经过准直后的入射光束沿着z轴正方向传播,入射光线与位于z=h处的平面(透镜的第一表面)交于点S=(x,y,h),然后从出射表面(透镜的第二表面)上的点P=(x,y,z)处射出,最终到达位于z=d处目标面上的点T=(u,v,d),其中(x,y,h)和(u,v,d)分别为透镜第一个表面及目标面上点的笛卡尔坐标,用I_in和O_out来表示入射光线和出射光线的单位矢量,N为点P的法向矢量。透镜的出射表面由一组光滑的自由曲面片拼接而成,其可以将准直光束折射为一定数量的子光束,进而在目标平面上形成具有特定排列方式、光斑轮廓和能量比例的光斑点阵。采用编号(n,m)对目标面上的N×M个光斑进行区分和定位,与光斑(n,m)对应的出射子曲面用A_n_,_m来表示,其中n=1,2,…,N, m=1,2,…,M。设计主要包括三个步骤,与离散光斑阵列对应的入射光束子区域划分、入射光束子区域到对应光斑的光线映射计算和自由曲面分块的构建。

图 1. 自由曲面分束器的设计示意图

Fig. 1. Design schematic of free-form beam splitter

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2.1 与离散光斑阵列对应的入射光束子区域划分

入射光束在平面z=h处的辐照度分布为f(x,y),其中(x,y)ÎΩ₀,Ω₀表示入射光束在平面上的分布区域。为了实现目标面上不连续的辐照度分布,需要根据能量守恒定律将f(x,y)划分为N×M个子区域,与光斑(n,m)对应的平面上的入射区域用B_n_,_m来表示,如图2所示,其中a₀和a_N是入射光束沿x轴方向的边界最小值和最大值,b₀和b_M分别是入射光束沿y轴方向的边界最小值和最大值。

图 2. 入射光束子区域的划分示意图

Fig. 2. Schematic of subarea division of incident beam

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光斑(n,m)的预设辐照度分布为g₍_n_,_m₎(u,v),能量为 $E_{n, m} = \int \int_{Ω_{n, m}} g_{(n, m)} (u, v) d u d v,$ 其中(u,v)ÎΩ_n_,_m,Ω_n_,_m表示目标光斑(n,m)在目标面上的分布区域。对于一个无损光学系统而言,入射光束携带的能量与目标光斑阵列的总能量相等,可表示为

\int \int_{Ω_{0}} f (x, y) d x d y = \overset{N}{\sum_{n = 1}} \overset{M}{\sum_{m = 1}} E_{n, m} 。 (1)

接下来根据能量守恒原理计算每个子区域的边界。首先,将入射面沿x轴方向分为N个矩形区域,这些区域由沿x轴的坐标a_n界定,表达式为

\int_{a_{0}}^{a_{n}} \int_{b_{0}}^{b_{M}} f (x, y) d x d y = \overset{n}{\sum_{n' = 1}} \overset{M}{\sum_{m = 1}} E_{n', m}, (2)

得到每个a_n之后,依次将N个带状矩形区域沿y轴方向进一步划分得到最终的子区域。对于第(n,m)个子区域B_n_,_m,其沿x轴方向的边界为a_n_-1和a_n,而沿y轴方向的边界为b_n_,_m_-1和b_n_,_m,可计算为

\int_{a_{n - 1}}^{a_{n}} \int_{b_{n, 0}}^{b_{n, m}} f (x, y) d x d y = \overset{m}{\sum_{m' = 1}} E_{n, m'} 。 (3)

需要指出的是子区域的划分方式不唯一,比如可以先沿y轴方向划分带状矩形区域,并依次将这些带状矩形区域沿x轴方向进一步划分得到最终的子区域。

获得与离散光斑阵列相对应的子区域后,每一个子区域对应的自由曲面片满足一个MA类型的二阶非线性偏微分方程^[18],可表示为

\begin{array}{l} C_{1} [\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} - {(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y})}^{2}] + C_{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + C_{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} + C_{4} \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + C_{5} = 0, (4) \end{array}

式中:C_i为关于(x,y,z,∂z/∂x,∂z/∂y)的函数,i=1,2,3,4,5。通过求解MA方程可以得到相应的自由曲面数值解,但该方法在数学处理上比较复杂。因此采用一种更简洁的光线映射法来构建自由曲面,将在2.2节和2.3节中进行详细介绍。

2.2 入射光束子区域到对应光斑的光线映射计算

基于文献[ 19]描述的分离变量方法来计算入射光束子区域到对应光斑的光线映射关系。入射光束子区域B_n_,_m与对应光斑区域Ω_n_,_m之间的能量守恒可表示为

\int \int_{B_{n, m}} f (x, y) d x d y = \int \int_{Ω_{n, m}} g_{(n, m)} (u, v) d u d v 。 (5)

如果入射光束的辐照度分布f(x,y),(x,y)ÎB_n_,_m和目标辐照度分布 ${g_{(}}_{n, m}_{)}$ (u,v),(u,v)ÎΩ_n_,_m均可分离变量,即可以分别写成沿x方向辐照度分布f_x(x)、g_u_,(_n_,_m₎(u)和沿y方向辐照度分布f_y(y)、g_v_,(_n_,_m₎(v)的乘积,表达式为

\begin{array}{l} f (x, y) = f_{x} (x) \cdot f_{y} (y), (6) \\ g_{(n, m)} (u, v) = g_{u, (n, m)} (u) \cdot g_{v, (n, m)} (v) 。 (7) \end{array}

如果确定其中一个网格的划分,另一个也就随之确定。将每一个入射子区域B_n_,_m离散为(I-1)×(J-1)个相同的矩形网格(包含I×J个点),网格点的x坐标用x_i来表示,i=1,2,…,I,y坐标用y_j来表示,j=1,2,…,J,如图3所示。一旦x_i和y_j确定,根据分离变量法就可以计算相应的坐标u_i和v_j,表达式为

\begin{array}{l} \int_{x_{1}}^{x_{i}} f_{x} (x) d x \cdot \int_{y_{1}}^{y_{J}} f_{y} (y) d y = \\ \int_{u_{1}}^{u_{i}} g_{u, (n, m)} (u) d u \cdot \int_{v_{1}}^{v_{J}} g_{v, (n, m)} (v) d v, (8) \\ \int_{x_{1}}^{x_{I}} f_{x} (x) d x \cdot \int_{y_{1}}^{y_{j}} f_{y} (y) d y = \\ \int_{u_{1}}^{u_{I}} g_{u, (n, m)} (u) d u \cdot \int_{v_{1}}^{v_{j}} g_{v, (n, m)} (v) d v 。 (9) \end{array}

根据上述步骤,目标光斑区域Ω_n_,_m被划分为(I-1)×(J-1)个非均匀的矩形网格。对于入射面上的N×M个子区域,需单独计算每个子区域的光线映射。

图 3. 从子区域B_n_,_m到对应光斑区域Ω_n_,_m的光线映射示意图

Fig. 3. Schematic of ray map from subarea B_n_,_m to corresponding spot area Ω_n_,_m

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2.3 自由曲面分块的构建

在2.2节计算入射光束子区域到对应光斑的光线映射后,接下来分块的构建可实现2.2节映射关系的自由曲面。定义自由曲面分束透镜的折射率为n_lens,透镜周围空气的折射率为1。入射光束沿z轴正方向传播,即其单位方向矢量I_in为(0,0,1)。透镜的第一个表面为垂直于z轴的平面,不会改变光束的传播方向,因而任何经过S_i_,_j=(x_i,y_j,h)的光线都将经过自由曲面数据点P_i_,_j=(x_i,y_j,z_i_,_j),最后到达目标面上的点T_i_,_j=(u_i,v_j,d)。由于从自由曲面到目标平面的距离远大于透镜的厚度,出射光线序列O_out,_i_,_j可近似表示为

O_{out, i, j} = \frac{T_{i, j} - S_{i, j}}{|T_{i, j} - S_{i, j}|}, (10)

式中:|a|表示向量a的模。由矢量形式的斯涅尔定律可计算点P_i_,_j处的法向矢量,即

N_{i, j} = \frac{O_{out, i, j} - n_{lens} I_{in, i, j}}{|O_{out, i, j} - n_{lens} I_{in, i, j}|} 。 (11)

需要注意的是,上述法向矢量场不一定可积,尤其对于分束角度与傍轴近似区域差异较大的情况^[20]。因此,由法向矢量场积分得到的自由曲面可能与积分路径有关,此时采用逐点积分法或线积分法常会带来较大的误差累积。

为了避免误差累积,采用文献[ 21]提出的最小二乘法来构建自由曲面。该方法的基本思路:将自由曲面上的点P与其法向矢量N以一种简单的关系联系起来,即相邻两个自由曲面数据点间的弦与这两点法向矢量的向量和垂直,如图4所示,可表示为^[21]

\begin{array}{l} (P_{i + 1, j} - P_{i, j}) \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) = 0, (12) \\ (P_{i, j + 1} - P_{i, j}) \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) = 0, (13) \end{array}

式中:P_i_,_j=S_i_,_j+r_i_,_jI_in,_i_,_j,其中r_i_,_j代表S_i_,_j与P_i_,_j之间的距离,r_i_,_j=z_i_,_j-h。进而(12)式和(13)式可转换为^[21]

\begin{array}{l} I_{in, i + 1, j} \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) r_{i + 1, j} - \\ I_{in, i, j} \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) r_{i, j} = \\ - (S_{i + 1, j} - S_{i, j}) \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}), (14) \\ I_{in, i, j + 1} \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) r_{i, j + 1} - \\ I_{in, i, j} \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) r_{i, j} = \\ - (S_{i, j + 1} - S_{i, j}) \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) 。 (15) \end{array}

(14)式和(15)式均为关于r_i_,_j的线性关系表达式,可以采用Hermann的方法得到其最小二乘解^[22]。(14)式和(15)式简写为矩阵形式^[21],可表示为

HR = b, (16)

式中:H为包含(14)式和(15)式中所有r_i_,_j系数的矩阵^[21],即

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \{\begin{array}{l} H_{i + (j - 1) (I - 1), i + (j - 1) I} = - I_{in, i, j} \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) \\ H_{i + (j - 1) (I - 1), 1 + i + (j - 1) I} = I_{in, i + 1, j} \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) \end{array} \\ i = 1,2, \dots, I - 1, j = 1,2, \dots, J, \end{array}, (17) \\ \begin{array}{l} \{\begin{array}{l} H_{i + (j - 1) I + J (I - 1), i + (j - 1) I} = - I_{in, i, j} \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) \\ H_{i + (j - 1) I + J (I - 1), i + jI} = I_{in, i, j + 1} \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) \end{array}, \\ i = 1,2, \dots, I, j = 1,2, \dots, J - 1; \end{array} (18) \end{array}

R为一个包含I×J个未知坐标r_i_,_j的向量;b为包含(14)式和(15)式右侧元素的向量,可表示为

\{\begin{array}{l} b_{i + (j - 1) (I - 1)} = - (S_{i + 1, j} - S_{i, j}) \cdot (N_{i + 1, j} + N_{i, j}) \\ i = 1,2, \dots, I - 1, j = 1,2, \dots, J \\ b_{i + (j - 1) I + J (I - 1)} = - (S_{i, j + 1} - S_{i, j}) \cdot (N_{i, j + 1} + N_{i, j}) \\ i = 1,2, \dots, I, j = 1,2, \dots, J - 1 \end{array} 。 (19)

系数矩阵H是一个I×(J-1)+J×(I-1)行、I×J列的矩阵,其秩为I×J-1。通过增加初值条件可将H变为满秩矩阵。例如可以设置i=i_c、j=j_c的曲面数据点 $P_{i_{c}, j_{c}}$ 的矢高为r_c,其中i_c为1, 2, …,I中的任一值,j_c为1,2, …, J中的任一值^[21] ,可表示为

\begin{array}{l} H_{1 + (J - 1) I + J (I - 1), i_{c} + (j_{c} - 1) I} = 1, (20) \\ b_{1 + (J - 1) I + J (I - 1)} = r_{c}, (21) \end{array}

这就可以得到唯一的最小二乘解^[21],即

R = (H^{T} {H)}^{- 1} H^{T} b 。 (22)

采用上述算法得到曲面数据点P_i_,_j后,出射光线可得到修正,表达式为

O_{out, i, j} = \frac{T_{i, j} - P_{i, j}}{|T_{i, j} - P_{i, j}|} 。 (23)

图 4. 自由曲面数据点与法向矢量的关系示意图

Fig. 4. Schematic of relationships between freeform surface data points and normal vectors

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接着,根据更新的出射光线序列,重复上述步骤重新计算表面的法向矢量N_i_,_j和表面点P_i_,_j的坐标,多次迭代直至满足收敛条件。

基于上述的最小二乘方法可以独立计算与入射光束每一个子区域对应的自由曲面,这些自由曲面均连续且光滑。将这些子曲面依序拼接得到分束器的出射表面,可以通过调整每个自由曲面的初值点使任意两个相邻子曲面之间具有较小的矢高差。如果入射光束未准直,可将入射面设置为二次曲面或自由曲面以起到对入射光束的准直作用。

3 设计实例及仿真

为了验证采用第2节方法构建自由曲面分束器的有效性,提供两个设计实例。设定入射光束为准直高斯光束,波长λ=532 nm,束腰半径为ω=5 mm,光束半径取2ω。入射平面和目标平面分别位于z=0 mm和z=100 mm处。入射光束在入射平面处的辐照度为

\begin{array}{l} f (x, y) = A \exp {- 2 [{(x / ω)}^{2} + {(y / ω)}^{2}]}, \\ (x, y) \in Ω_{0}, (24) \end{array}

式中:A为常数;Ω₀={(x,y)|-2ω≤x,y≤2ω}。设计的目标是利用构建的自由曲面分束器FBS 1及FBS 2,将入射光束分别转化为目标平面上的5×5高斯光斑阵列和矩形平顶光斑阵列。所有光斑的边长设为1 mm。在x和y方向上,相邻两个光斑之间的分束角度皆为8°,顶角处光斑和系统光轴之间的夹角为22°,总分束角达44°。透镜材料采用聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)。对于整个自由曲面,共计算2005²个点,其中包括相邻子曲面接缝处(x,y)坐标的重合点,对每个子区域进行均匀采样。使用蒙特卡罗几何光线追迹软件LightTools对透镜的分束效果进行仿真,设置光源功率为1 W。

由于激光束具有相干性,在几何光学近似的条件下设计透镜时需要考虑衍射效应对仿真结果的影响。将不确定性原理代入与激光整形相关的衍射问题中,得到的参考因子β可以对目标平面上的光斑质量进行预估判断^[23]。参考因子β可表示为

β = 2 \sqrt[]{2 π} r_{0} Y_{0} / dλ, (25)

式中:r₀为输入光束的半宽度;Y₀为输出光束的半宽度;d为光源与目标平面之间的距离。几何光学是一种短波长近似,意味着β值越大,衍射效应越容易被忽略。当透镜表面光滑时,一般认为β>40可以完全忽略衍射效应,此时几何光线追迹足以提供可靠的结果,当透镜不连续时,则需要更大的β值^[23]。实验使用物理光学软件VirtualLab分别模拟中心和边缘单片子曲面的衍射情况,相应的β值和仿真结果将在后面给出。

首先构建FBS 1以获得5×5的等能量高斯光斑阵列,输出高斯光斑的束腰半径为ω_spot=0.5 mm。构建的FBS 1模型及其LightTools光线追迹结果如图5所示。FBS 1的出射面由25个光滑的子曲面拼接组成,其中心厚度为2.27 mm。从图5可以看到,入射光束经FBS 1折射后,被重新定向到目标面上不同的位置,进而形成预设的光斑阵列。二维光斑阵列的辐照度分布以及边缘行和列的光斑中心辐照度分布轮廓线如图6所示。从图6可以看到,各光斑之间的能量分布均匀,单个光斑的辐照度分布与高斯分布接近。在考虑菲涅耳损耗的情况下,FBS 1的光输出比(LOR)约为90.5%,LOR为目标平面接收到光斑阵列的总能量与输入光束能量的比。

图 5. FBS 1的模型以及光线追迹图

Fig. 5. Model of FBS 1 and ray tracing illustration

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图 6. FBS 1的光线追迹仿真结果。(a)二维光斑阵列;(b)第5列和(c)第1行的中心辐照度分布曲线

Fig. 6. Ray tracing simulation results of FBS 1. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 5^th column and (c) 1^st row

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采用VirtualLab软件对FBS 1的中心子曲面A_3,3和边缘子曲面A_1,1进行物理光学仿真,结果如图7所示。中心子曲面A_3,3的尺寸为1.26 mm×1.26 mm,其对应入射光束的光束半宽r₀取0.63 mm,目标光斑的半宽Y₀=ω_spot=0.5 mm,d=100 mm,根据(25)式计算得到β=29.68,仿真结果如图7(a)和图7(b)所示。从图7(a)和图7(b)可以看到,因孔径尺寸的限制带来的衍射效应比较明显。子曲面A_1,1尺寸为7.90 mm×7.90 mm,相应的β=186.11,图7(c)和图7(d)为物理光学仿真结果。虽然与A_3,3相比,A_1,1衍射效应相对减弱,但其光斑呈现一定的不对称分布。主要原因在于A_3,3远离光轴,曲面误差较大,造成光斑轮廓有一定的变形。

图 7. FBS 1的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 7. Physical optical simulation results of FBS 1. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

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图 8. FBS 2的模型、光线追迹和能量比例示意图。(a) FBS 2的模型以及光线追迹的示意图;(b) 目标光斑阵列的能量比例

Fig. 8. FBS 2 model, ray tracing and energy scale diagram. (a) Model of FBS 2 and ray tracing illustration; (b) predefined energy proportion of target spot array

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图 9. FBS 2的光线追迹仿真结果。(a) 二维光斑阵列;(b) 第1列,(c) 第2列,(d) 第3列,(e) 第4列,(f) 第5列的中心辐照度分布曲线

Fig. 9. Ray tracing simulation results of FBS 2. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 1^st, (c) 2^nd, (d) 3^rd, (e) 4^th, and (f) 5^th column

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FBS 2可以产生具有预设能量比例的5×5矩形平顶光斑阵列。构建的FBS 2模型及其LightTools光线追迹结果如图8(a)所示。FBS 2的最薄厚度为2.23 mm,与FBS 1相比其出射面的不连续性更明显,这主要是由光斑阵列的不均匀能量分布比例造成的,如图8(b)所示。FBS 2的光线追迹仿真结果如图9所示。从图9二维光斑阵列辐照度分布和每一列光斑的中心辐照度分布曲线可以看到,光斑的能量比例与图8(b)设定的比例系数一致;此外,远离光轴的光斑轮廓发生变形,均匀性也有所降低,这是由光线映射方法带来的法向矢量误差造成的。考虑菲涅耳损耗时FBS 2的LOR为89.5%。

FBS 2中最小子曲面A_3,3的尺寸为1.03 mm×0.80 mm,其对应入射光束的r₀取0.4 mm,目标光斑的半宽Y₀ 为0.5 mm,计算得到β=18.84。从图10(a)和图10(b)可以看到,衍射效应对光斑能量分布的影响相较于FBS 1而言更严重。选取较大尺寸的单片子曲面A_1,1,其尺寸为7.55 mm×7.12 mm,对应入射光束的光束半宽r₀取3.56 mm,计算得到β=167.74,物理光学仿真结果如图10(c)和图10(d)所示。从图10(c)和图10(d)可以看到,A_1,1所对应光斑的形状畸变与图7(c)和图7(d)类似。

FBS 1和FBS 2的表面矢高突变可能增大加工难度以及增加透镜的易损性。图11和图12分别为FBS 1和FBS 2的表面矢高轮廓线及突变曲线。这里为了展示方便,将分束器的出射面沿x轴方向分为5个带状子曲面A₁,…,A₅(如A₁为子曲面A_1,1到A_1,5的总和)。图11(a)~(c)和图12(a)~(e)分别为FBS 1和FBS 2中带状子曲面A₁,…,A₅沿y轴方向的边缘矢高轮廓线。从图11(a)和图12(e)可以看到,FBS 1和FBS 2的表面矢高最大值分别为10.00 mm和11.06 mm。图11(d)和图12(f)绘制两透镜相邻曲面之间的矢高突变情况,两个分束器的最大表面矢高突变值分别为0.247 mm和1.539 mm。与FBS 2相比,FBS 1的最大表面矢高突变值与最大矢高的比值更小,加工难度相应更低。

图 10. FBS 2的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 10. Physical optical simulation results of FBS 2. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

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FBS 1子曲面的边缘轮廓线及矢高突变曲线。(a) A1和A5;(b) A2和A4;(c) A3;(d)相邻子曲面之间的表面矢高突变曲线

图 11. FBS 1子曲面的边缘轮廓线及矢高突变曲线。(a) A₁和A₅;(b) A₂和A₄;(c) A₃;(d)相邻子曲面之间的表面矢高突变曲线

Fig. 11. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 1. (a) A₁ and A₅; (b) A₂ and A₄; (c) A₃; (d) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

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FBS 2子曲面的表面矢高轮廓线及突变曲线。(a) A1; (b) A2; (c) A3; (d) A4;(e) A5;(f)相邻子曲面之间的表面矢高突变

图 12. FBS 2子曲面的表面矢高轮廓线及突变曲线。(a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄;(e) A₅;(f)相邻子曲面之间的表面矢高突变

Fig. 12. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 2. (a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄; (e) A₅; (f) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

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4 结论

参考文献

[1] Golub M A. Laserbeam splitting by diffractive optics[J]. Optics & Photonics News, 2004, 15(2): 36-41.

[2] Dammann H, Görtler K. High-efficiency in-line multiple imaging by means of multiple phase holograms[J]. Optics Communications, 1971, 3(5): 312-315.

[3] Zhou C H, Liu L R. Numerical study of Dammann array illuminators[J]. Applied Optics, 1995, 34(26): 5961-5969.

[4] Romero L A, Dickey F M. Theory of optimal beam splitting by phase gratings. II. Square and hexagonal gratings[J]. Journal of the Optical Society of America A, 2007, 24(8): 2296-2312.

[5] Miklyaev Y V, Imgrunt W, Pavelyev V S, et al. Novel continuously shaped diffractive optical elements enable high efficiency beam shaping[J]. Proceedings of SPIE, 2010, 7640: 764024.

[6] Miklyaev Y V, Krasnaberski A, Ivanenko M, et al. Efficient diffractive optical elements from glass with continuous surface profiles[J]. Proceedings of SPIE, 2011, 7913: 79130B.

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[24] Wang K, Liu S, Chen F, et al. Effect of manufacturing defects on optical performance of discontinuous freeform lenses[J]. Optics Express, 2009, 17(7): 5457-5465.

1 引言

2 设计方法

2.1 与离散光斑阵列对应的入射光束子区域划分

2.2 入射光束子区域到对应光斑的光线映射计算

2.3 自由曲面分块的构建

3 设计实例及仿真

4 结论

司佳, 冯泽心, 程德文, 王涌天. 实现给定能量比离散光斑阵列的自由曲面分束器[J]. 光学学报, 2020, 40(17): 1722004. Jia Si, Zexin Feng, Dewen Cheng, Yongtian Wang. Freeform Surface Beam Splitter for Discrete Spot Array with Prescribed Energy Proportion[J]. Acta Optica Sinica, 2020, 40(17): 1722004.

实现给定能量比离散光斑阵列的自由曲面分束器下载： 1257次封面文章

1 引言

2 设计方法

图 1. 自由曲面分束器的设计示意图

Fig. 1. Design schematic of free-form beam splitter

2.1 与离散光斑阵列对应的入射光束子区域划分

图 2. 入射光束子区域的划分示意图

Fig. 2. Schematic of subarea division of incident beam

2.2 入射光束子区域到对应光斑的光线映射计算

图 3. 从子区域B_n_,_m到对应光斑区域Ω_n_,_m的光线映射示意图

Fig. 3. Schematic of ray map from subarea B_n_,_m to corresponding spot area Ω_n_,_m

2.3 自由曲面分块的构建

图 4. 自由曲面数据点与法向矢量的关系示意图

Fig. 4. Schematic of relationships between freeform surface data points and normal vectors

3 设计实例及仿真

图 5. FBS 1的模型以及光线追迹图

Fig. 5. Model of FBS 1 and ray tracing illustration

图 6. FBS 1的光线追迹仿真结果。(a)二维光斑阵列;(b)第5列和(c)第1行的中心辐照度分布曲线

Fig. 6. Ray tracing simulation results of FBS 1. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 5^th column and (c) 1^st row

图 7. FBS 1的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 7. Physical optical simulation results of FBS 1. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

图 8. FBS 2的模型、光线追迹和能量比例示意图。(a) FBS 2的模型以及光线追迹的示意图;(b) 目标光斑阵列的能量比例

Fig. 8. FBS 2 model, ray tracing and energy scale diagram. (a) Model of FBS 2 and ray tracing illustration; (b) predefined energy proportion of target spot array

图 9. FBS 2的光线追迹仿真结果。(a) 二维光斑阵列;(b) 第1列,(c) 第2列,(d) 第3列,(e) 第4列,(f) 第5列的中心辐照度分布曲线

Fig. 9. Ray tracing simulation results of FBS 2. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 1^st, (c) 2^nd, (d) 3^rd, (e) 4^th, and (f) 5^th column

图 10. FBS 2的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 10. Physical optical simulation results of FBS 2. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

图 11. FBS 1子曲面的边缘轮廓线及矢高突变曲线。(a) A₁和A₅;(b) A₂和A₄;(c) A₃;(d)相邻子曲面之间的表面矢高突变曲线

Fig. 11. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 1. (a) A₁ and A₅; (b) A₂ and A₄; (c) A₃; (d) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

图 12. FBS 2子曲面的表面矢高轮廓线及突变曲线。(a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄;(e) A₅;(f)相邻子曲面之间的表面矢高突变

Fig. 12. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 2. (a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄; (e) A₅; (f) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

4 结论

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1 引言

2 设计方法

图 1. 自由曲面分束器的设计示意图

Fig. 1. Design schematic of free-form beam splitter

2.1 与离散光斑阵列对应的入射光束子区域划分

图 2. 入射光束子区域的划分示意图

Fig. 2. Schematic of subarea division of incident beam

2.2 入射光束子区域到对应光斑的光线映射计算

图 3. 从子区域Bn,m到对应光斑区域Ωn,m的光线映射示意图

Fig. 3. Schematic of ray map from subarea Bn,m to corresponding spot area Ωn,m

2.3 自由曲面分块的构建

图 4. 自由曲面数据点与法向矢量的关系示意图

Fig. 4. Schematic of relationships between freeform surface data points and normal vectors

3 设计实例及仿真

图 5. FBS 1的模型以及光线追迹图

Fig. 5. Model of FBS 1 and ray tracing illustration

图 6. FBS 1的光线追迹仿真结果。(a)二维光斑阵列;(b)第5列和(c)第1行的中心辐照度分布曲线

Fig. 6. Ray tracing simulation results of FBS 1. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 5th column and (c) 1st row

图 7. FBS 1的物理光学仿真结果。A3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 7. Physical optical simulation results of FBS 1. Simulated spot of A3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A1,1 (c) true color, (d) false color

图 8. FBS 2的模型、光线追迹和能量比例示意图。(a) FBS 2的模型以及光线追迹的示意图;(b) 目标光斑阵列的能量比例

Fig. 8. FBS 2 model, ray tracing and energy scale diagram. (a) Model of FBS 2 and ray tracing illustration; (b) predefined energy proportion of target spot array

图 9. FBS 2的光线追迹仿真结果。(a) 二维光斑阵列;(b) 第1列,(c) 第2列,(d) 第3列,(e) 第4列,(f) 第5列的中心辐照度分布曲线

Fig. 9. Ray tracing simulation results of FBS 2. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 1st, (c) 2nd, (d) 3rd, (e) 4th, and (f) 5th column

图 10. FBS 2的物理光学仿真结果。A3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 10. Physical optical simulation results of FBS 2. Simulated spot of A3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A1,1 (c) true color, (d) false color

图 11. FBS 1子曲面的边缘轮廓线及矢高突变曲线。(a) A1和A5;(b) A2和A4;(c) A3;(d)相邻子曲面之间的表面矢高突变曲线

Fig. 11. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 1. (a) A1 and A5; (b) A2 and A4; (c) A3; (d) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

图 12. FBS 2子曲面的表面矢高轮廓线及突变曲线。(a) A1; (b) A2; (c) A3; (d) A4;(e) A5;(f)相邻子曲面之间的表面矢高突变

Fig. 12. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 2. (a) A1; (b) A2; (c) A3; (d) A4; (e) A5; (f) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

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图 3. 从子区域B_n_,_m到对应光斑区域Ω_n_,_m的光线映射示意图

Fig. 3. Schematic of ray map from subarea B_n_,_m to corresponding spot area Ω_n_,_m

Fig. 6. Ray tracing simulation results of FBS 1. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 5^th column and (c) 1^st row

图 7. FBS 1的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 7. Physical optical simulation results of FBS 1. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

Fig. 9. Ray tracing simulation results of FBS 2. (a) 2D spot array; central irradiance profiles of (b) 1^st, (c) 2^nd, (d) 3^rd, (e) 4^th, and (f) 5^th column

图 10. FBS 2的物理光学仿真结果。A_3,3的仿真光斑(a)真色,(b)假色;A_1,1的仿真光斑(c)真色,(d)假色

Fig. 10. Physical optical simulation results of FBS 2. Simulated spot of A_3,3 (a) true color, (b) false color; simulated spot of A_1,1 (c) true color, (d) false color

图 11. FBS 1子曲面的边缘轮廓线及矢高突变曲线。(a) A₁和A₅;(b) A₂和A₄;(c) A₃;(d)相邻子曲面之间的表面矢高突变曲线

Fig. 11. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 1. (a) A₁ and A₅; (b) A₂ and A₄; (c) A₃; (d) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces

图 12. FBS 2子曲面的表面矢高轮廓线及突变曲线。(a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄;(e) A₅;(f)相邻子曲面之间的表面矢高突变

Fig. 12. Edge profiles and sag mutation curves of sub-surfaces of FBS 2. (a) A₁; (b) A₂; (c) A₃; (d) A₄; (e) A₅; (f) sag mutation curves between adjacent sub-surfaces