呼吸子泛指一类具有周期演化或周期分布结构的非线性波，它已成为非线性光学系统的研究热点之一。研究多种呼吸子的时空动力学特征具有实际的物理意义。本文基于孤子理论中的Darboux变换方法构造出AB系统在椭圆函数背景下的多呼吸子解，并进一步分析了呼吸子的非线性动力学特征。首先，基于AB系统的Lax对，通过修正的平方波函数法与行波变换法获得该系统的椭圆函数周期解以及Lax对的基本解。然后，通过椭圆函数积分公式和Darboux变换迭代算法，推导出dn和cn两种椭圆函数背景下的一阶和二阶呼吸子解的解析表达式。另外，讨论了三种呼吸子的动力学特征，主要包括一般呼吸子（GB）、Kuznetsov-Ma呼吸子（KMB）和Akhmediev呼吸子（AB）。最后，研究了在dn背景下GB和KMB相互作用的时空结构以及在cn背景下两个GB相互作用的时空结构。本文研究结果将有助于理解在非线性光学领域中周期背景下的呼吸子动力学特征和相互作用行为。

本文基于构造Hirota模型中非线性波精确解, 研究了飞秒光纤系统中相对相位诱导平面波背景上基本孤子的态转换以及孤子与呼吸子碰撞过程中孤子的态转换问题。研究发现, 呼吸子的激发结构并不会随不同相对相位的初始扰动发生显著改变, 但相对相位变化可以诱导平面波背景上孤子的分布发生改变, 且诱导反暗孤子态转换为非有理型W形孤子。进一步, 相对相位也会诱导孤子与呼吸子碰撞过程中孤子的结构改变及态转换。研究结果揭示了相对相位影响孤子结构, 孤子态转换的物理机制, 对在探究光学系统中平面波背景上新的孤子种类、理解非线性波相互作用本质方面有重要意义。

非线性效应严重影响光纤通信中信号的传输，导致波形或频谱中包含的信号失真。采用特征值通信的方式来克服非线性效应，即在发送端用Darboux变换合成孤子信号承载信息，接收端用非线性傅里叶变换解调特征值恢复信号。通过对算法的改进，降低了非线性频分复用(NFDM)通信系统的计算复杂度，仿真结果表明NFDM通信系统能够有效抑制非线性效应。

采用达布变换法得到了标准非线性薛定谔方程的一阶呼吸子解及其怪波极限,研究了一阶呼吸子解的动力学特性。借助达布变换的递推关系得到了非线性薛定谔方程的高阶呼吸子解,并分别研究了碰撞叠加、分离、简并和并行传输模式。当各呼吸子的频率趋于零时,得到非线性薛定谔方程怪波极限。研究结果表明,怪波幅值、凸起数以及怪波分裂后中心波峰的阶数和周围的波峰个数均与怪波阶数有关。

基于同时包含四阶色散项和四阶非线性项的非线性薛定谔层级结构的四阶可积方程(LPD 方程),首先利用达布变换法得到LPD方程的单呼吸子解,并对呼吸子的动力学特性进行研究,得到呼吸子与W型孤子、抖动的W型孤子和周期波的转换关系;其次,借助达布变换的递推关系得到LPD方程的双呼吸子解,并利用呼吸子与孤子之间的转换关系,研究呼吸子与孤子以及呼吸子与周期波的碰撞特性;最后,对双呼吸子的碰撞特性进行更为详细的研究,得到双呼吸子的交叉碰撞、平行叠加及双呼吸子的简并态等动力学特性。