折反式深紫外光刻物镜采用反射镜为主动自由曲面，补偿系统热像差。一些物镜系统要求反射镜的通光孔径为矩形。出于描述反射镜主动变形的目的，需要采用矩形区域正交的多项式拟合变形数据。高精度的拟合要求需要获得高阶的多项式表达式。本文根据正交多项式的性质，推导了矩形正交多项式的通式并列出前36 项多项式的表达式。应用该多项式对主动自由曲面的变形数据进行拟合。结果表明，变形均方根值(RMS)在2 nm~5 nm 范围内，最小拟合残差可达0.024 nm。根据拟合残差面形的特点，可以对主动自由曲面的结构设计改进。

针对方形孔径自由曲面反射系统，构造方形域上正交多项式用于波前解析，得到方形孔径系统波像差系数。在计算机辅助装调阶段，为确保装调结果准确，用方形域上正交多项式和光学设计软件来建立系统的灵敏度矩阵，结合自准直干涉法得到的多个视场得波像差来求解系统失调量；在多次迭代后得到系统平均RMS为0.164 1(632.8 nm)实测系统平均传递函数达到0.453 4的理想结果；证明该装调方法正确性，并适用于其他形状孔径自由曲面离轴反射系统式系统装调。

Zernike多项式拟合是一种在光学领域中广泛应用的分析技术。由于现代光学工程中采集数据的离散性和非圆孔径系统的大量使用，Zernike多项式拟合不能完全满足分析需要。提出了一种基于Zernike多项式的非圆孔径离散采样点的正交多项式。通过矩阵的QR分解方法得到在离散采样点上的正交多项式基底。分别使用Zernike多项式和正交多项式对150 mm×90 mm的矩形光栅反射波前进行拟合，结果表明两种方法残差波前的PV和RMS值分别相差0.013波长和小于0.001波长。对比不同项数拟合的正交多项式和Zernike多项式系数表明，正交多项式系数之间彼此独立，并由正交多项式系数计算得到了对应的Seidel像差。正交多项式各项系数可以逐项求解，该方法可以显著提高求解速度。

为了提高四轴抛光平台的加工精度，本文针对以气浮平台和旋转台为主要运动方式的四轴抛光平台进行了几何与热综合误差建模与补偿研究。采用激光干涉仪、温度传感器等测量仪器分别对平台X、Z轴在不同温度下的定位误差进行重复测量与分析，证实了不同进给速度对定位误差没有显著影响。得到了四轴抛光平台X、Z轴的定位误差与温度之间的变化规律。基于正交多项式和插值算法分别建立了X、Z轴的几何与热综合误差模型。根据综合误差模型计算出预测数据曲线，并分别对X、Z轴的7组实验数据进行了数据拟合，拟合残差绝对值均不超过0.2 μm。依据预测数据进行了补偿实验。 结果显示，补偿后四轴抛光平台在常温下、温升（60 min）下和稳态下的Z轴定位误差分别降低了93.05%、92.45%、85.71%，X轴定位误差分别降低了89.28%、93.59%、93.33%。实验结果证明本文所提出的综合模型及补偿方法精度高，鲁棒性好。

泽尼克圆多项式在圆形光瞳的正交性和能够代表经典像差而被广泛应用到波前分析中，用泽尼克圆多项式作为矩形光瞳基底函数，通过推导得到在矩形光瞳上正交的多项式。这个在矩形光瞳上正交的多项式不仅是唯一的，而且也能够表示经典像差，就像泽尼克圆多项式在表示圆形光瞳时具有这样的特性一样。矩形光瞳上正交多项式像泽尼克圆多项式一样即可以用极坐标表示也可以用直角坐标表示。使用正交多项式前 15项在 MATLAB中用最小二乘法拟合窗口干涉数据，从拟合残差的 RMS统计分析的结果来看，能很好描述高质量熔石英材料在窗口方向上的折射率均匀性分布。

利用傅里叶变换得到了Zernike多项式和环扇域内正交多项式的功率谱密度(PSD)分布，以及正交多项式每项所对应的峰值径向空间频率和半峰值径向空间频率范围。通过对比发现，正交多项式与相同阶的Zernike多项式PSD分布相似，但是却含有更高的空间频率成分。通过计算机仿真，发现正交多项式中每一项都基本上只代表特定的空间频率范围，根据相位度量的环扇形镜面面形空间频率分布，选择适当的正交多项式的项进行拟合，不仅能够节省运算时间，而且还可以保证拟合精度。

为消除小波分解过程中的边界效应，给出了一种基于多项式拟合的边界延拓的新方式。该延拓方式首先对信号边界处的N个点进行M阶正交多项式拟合，将信号在边界处的低频变化规律用正交多项式表示出来，再利用得到的边界处的低频变化规律对信号进行延拓，从而减少了边界处引入的突变量。研究表明，N取30～50、M取2～4较为合适。进一步的实验表明，利用小波变换在该延拓方式下对信号进行基线校正时，边界效应得到了明显的改善。

用弹性散射对多通道(e，2e)谱仪两维位置灵敏探测器的能量和动量响应函数进行了刻度，从住置灵敏探测器输出的两维位置信息中获得了弹性散射的能谱和角度谱，估计了在当前实验条件下的能量分辨和角度分辨。同时，我们用正交多项式的最小二乘法拟合得到了谱仪单路的能量和动量响应函数。