1 北京理工大学 光电学院，北京 100081
2 北京市混合现实与新型显示工程技术研究中心，北京 100081
自由曲面为光学系统设计带来了新的设计自由度，可以实现性能与参数更高、结构更紧凑的系统，但自由曲面的加工与检测难度较大，应在设计过程中对工艺性进行实时表征与控制。使用正交多项式面型可以较为容易地实现自由曲面同基底曲面矢高差的控制，但目前常用的大多是在圆域内正交的多项式，对于自由曲面离轴非对称系统中曲面常用的矩形孔径或者方形孔径局限性较大。针对以上问题，提出了采用方域内具有正交特性的二维Chebyshev多项式以及二维Legendre多项式进行自由曲面成像系统设计的方法。提出采用正交多项式孔径边缘积分的约束方法，以及采用控制方域正交多项式系数平方和的方法，配合正交多项式系数的其他线性约束，在不明显降低系统成像质量的情况下，实现高效的自由曲面系统设计以及曲面检测难度的实时表征与控制。通过多个不同结构的自由曲面成像系统设计实例，说明了所提出的设计方法的可行性与效果。所提出的方法为常用的有矩形曲面孔径的自由曲面系统设计提供了新思路，可以有效提升整个自由曲面系统研制过程的效率。
自由曲面 光学设计 方域正交多项式 面形描述 矢高差 freeform surface optical design square-domain orthogonal polynomials surface description sag difference 红外与激光工程
2023, 52(7): 20230317
1 中国科学院光电技术研究所, 成都 610209
2 中国科学院大学, 北京 100049
提出了基于稀疏子孔径正交多项式的拼接算法.该算法采用Mathematica9.0对圆域Zernike多项式进行Gram-Schimdt正交化, 构造出稀疏子孔径区域内的标准正交多项式——Z-sparse多项式, 并采用该正交多项式进行稀疏子孔径区域波前数据的拟合.实验表明：根据算法重构与直接检测的全孔径波前残差PV=0.071 9λ, RMS=0.007 4λ.该算法可对所提取的七个子孔径波前像差数据进行有效的拼接.
稀疏子孔径 正交多项式 Mathematica符号计算 拼接检测 波面重构 Sparse subaperture Orthogonal polynomials Mathematica symbol calculation Stiching wavefront reconstruction
折反式深紫外光刻物镜采用反射镜为主动自由曲面，补偿系统热像差。一些物镜系统要求反射镜的通光孔径为矩形。出于描述反射镜主动变形的目的，需要采用矩形区域正交的多项式拟合变形数据。高精度的拟合要求需要获得高阶的多项式表达式。本文根据正交多项式的性质，推导了矩形正交多项式的通式并列出前36 项多项式的表达式。应用该多项式对主动自由曲面的变形数据进行拟合。结果表明，变形均方根值(RMS)在2 nm~5 nm 范围内，最小拟合残差可达0.024 nm。根据拟合残差面形的特点，可以对主动自由曲面的结构设计改进。
Zernike 多项式 矩形孔径 正交多项式 折反射式光刻物镜 Zernike polynomial rectangle pupil orthogonal polynomial catadipotric lithography objective
1 中国科学院长春光学精密机械与物理研究所 光学系统先进制造技术中国科学院重点实验室，吉林 长春 130033
2 中国科学院大学，北京 100049
针对方形孔径自由曲面反射系统，构造方形域上正交多项式用于波前解析，得到方形孔径系统波像差系数。在计算机辅助装调阶段，为确保装调结果准确，用方形域上正交多项式和光学设计软件来建立系统的灵敏度矩阵，结合自准直干涉法得到的多个视场得波像差来求解系统失调量；在多次迭代后得到系统平均RMS为0.164 1(632.8 nm)实测系统平均传递函数达到0.453 4的理想结果；证明该装调方法正确性，并适用于其他形状孔径自由曲面离轴反射系统式系统装调。
方形域正交多项式 方形孔径 离轴自由曲面 计算机辅助装调 灵敏度矩阵 orthogonal polynomial in square area square aperture off-axis freeform computer-aided alignment sensitivity matrix
南京理工大学电子科学与光电技术学院，江苏 南京 210094
Zernike多项式拟合是一种在光学领域中广泛应用的分析技术。由于现代光学工程中采集数据的离散性和非圆孔径系统的大量使用，Zernike多项式拟合不能完全满足分析需要。提出了一种基于Zernike多项式的非圆孔径离散采样点的正交多项式。通过矩阵的QR分解方法得到在离散采样点上的正交多项式基底。分别使用Zernike多项式和正交多项式对150 mm×90 mm的矩形光栅反射波前进行拟合，结果表明两种方法残差波前的PV和RMS值分别相差0.013波长和小于0.001波长。对比不同项数拟合的正交多项式和Zernike多项式系数表明，正交多项式系数之间彼此独立，并由正交多项式系数计算得到了对应的Seidel像差。正交多项式各项系数可以逐项求解，该方法可以显著提高求解速度。
光学测量 Zernike多项式 正交多项式 波前拟合 非圆区域 optical measurement Zernike polynomial orthogonal polynomial wave-front fitting non-circle area
1 吉林大学 机械科学与工程学院，吉林 长春 130022
2 长春工业大学 机电学院，吉林 长春 130012
为了提高四轴抛光平台的加工精度，本文针对以气浮平台和旋转台为主要运动方式的四轴抛光平台进行了几何与热综合误差建模与补偿研究。采用激光干涉仪、温度传感器等测量仪器分别对平台X、Z轴在不同温度下的定位误差进行重复测量与分析，证实了不同进给速度对定位误差没有显著影响。得到了四轴抛光平台X、Z轴的定位误差与温度之间的变化规律。基于正交多项式和插值算法分别建立了X、Z轴的几何与热综合误差模型。根据综合误差模型计算出预测数据曲线，并分别对X、Z轴的7组实验数据进行了数据拟合，拟合残差绝对值均不超过0.2 μm。依据预测数据进行了补偿实验。 结果显示，补偿后四轴抛光平台在常温下、温升（60 min）下和稳态下的Z轴定位误差分别降低了93.05%、92.45%、85.71%，X轴定位误差分别降低了89.28%、93.59%、93.33%。实验结果证明本文所提出的综合模型及补偿方法精度高，鲁棒性好。
抛光机床 正交多项式 插值算法 综合误差模型 误差补偿 polishing machine orthogonal polynomial interpolation algorithm comprehensive error model error compensation 光学 精密工程
2015, 23(12): 3422
对大型金刚石圆锯片的内应力检测是通过测量其变形来实现的, 而检测过程中圆锯片的振动会引起测量结果的波动。为了提高检测精度, 本文提出了一种基于曲线拟合的圆锯片变形检测算法。首先利用固定滑窗移动的方式对定量的数据进行重构, 形成新的数据结构, 然后对新的数据结构进行正交多项式曲线拟合以降低噪声。根据此算法建立了圆锯片变形检测装置, 并对直径为 1 700 mm的锯片进行了测量。实验结果表明, 该算法降低了检测系统及圆锯片本身振动带来的变形误差, 检测精度可达 0.02 mm。
正交多项式 曲线拟合 圆锯片 变形检测 orthogonal polynomials curve fitting circular saw blade deformation measurement
推导了单位圆域和单位方域内的双变量正交多项式曲面的数学模型，详细分析了将不同正交多项式曲面应用于自由曲面拟合的精度问题。采用均匀随机、阵列分布和环状辐射三种采样方式，并选择具有代表性的普通非球面、自由曲面以及Peaks自由曲面进行了大量的拟合实验。实验结果表明：三种采样方法中，阵列采样的拟合适应度最高；XY多项式和正交XY多项式的拟合适应度最高；方域和圆域内正交的泽尼克多项式在曲面拟合中优势显著；双变量正交切比雪夫多项式在方域内、阵列采样的情况下曲面拟合优势明显。
光学设计 自由曲面光学 面形拟合 正交多项式 采样类型
1 中国科学院光电技术研究所，成都 610209
2 中国科学院研究生院，北京 100049
泽尼克圆多项式在圆形光瞳的正交性和能够代表经典像差而被广泛应用到波前分析中，用泽尼克圆多项式作为矩形光瞳基底函数，通过推导得到在矩形光瞳上正交的多项式。这个在矩形光瞳上正交的多项式不仅是唯一的，而且也能够表示经典像差，就像泽尼克圆多项式在表示圆形光瞳时具有这样的特性一样。矩形光瞳上正交多项式像泽尼克圆多项式一样即可以用极坐标表示也可以用直角坐标表示。使用正交多项式前 15项在 MATLAB中用最小二乘法拟合窗口干涉数据，从拟合残差的 RMS统计分析的结果来看，能很好描述高质量熔石英材料在窗口方向上的折射率均匀性分布。
折射率均匀性 矩形光瞳 正交多项式 数据拟合 index homogeneity rectangle pupil orthogonal polynomial data fitting
北京理工大学信息科学技术学院光电工程系, 北京 100081
利用傅里叶变换得到了Zernike多项式和环扇域内正交多项式的功率谱密度(PSD)分布，以及正交多项式每项所对应的峰值径向空间频率和半峰值径向空间频率范围。通过对比发现，正交多项式与相同阶的Zernike多项式PSD分布相似，但是却含有更高的空间频率成分。通过计算机仿真，发现正交多项式中每一项都基本上只代表特定的空间频率范围，根据相位度量的环扇形镜面面形空间频率分布，选择适当的正交多项式的项进行拟合，不仅能够节省运算时间，而且还可以保证拟合精度。
自适应光学 频域分析 环扇域 正交多项式 Zernike多项式 adaptive optics frequency domain analysis annulus sector domain orthogonal polynomial Zernike polynomial
